Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7461 / 5472
↖ ↑ ↗
← N 75.930885°
W 98.031006°		 ← 296.97 m → N 75.930885°
W 98.020019°		 →
↑
296.95 m
↓
↑
296.95 m
↓
N 75.928215°
W 98.031006°		 ← 297.03 m →
88 194 m²		 N 75.928215°
W 98.020019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227706909179688 y=0.167007446289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227706909179688 × 215)
    floor (0.227706909179688 × 32768)
    floor (7461.5)     		tx = 7461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167007446289062 × 215)
    floor (0.167007446289062 × 32768)
    floor (5472.5)     		ty = 5472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7461 / 5472 ti = "15/7461/5472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7461/5472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7461 ÷ 215
    7461 ÷ 32768     		x = 0.227691650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5472 ÷ 215
    5472 ÷ 32768     		y = 0.1669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227691650390625 × 2 - 1) × π
    -0.54461669921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71096382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1669921875 × 2 - 1) × π
    0.666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.09234979461621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71096382} λ = -1.71096382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09234979461621))-π/2
    2×atan(8.10393539249383)-π/2
    2×1.44802014076313-π/2
    2.89604028152626-1.57079632675     		φ = 1.32524395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71096382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.031006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32524395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.930885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7461 KachelY 5472 -1.71096382 1.32524395 -98.031006 75.930885
    Oben rechts KachelX + 1 7462 KachelY 5472 -1.71077207 1.32524395 -98.020019 75.930885
    Unten links KachelX 7461 KachelY + 1 5473 -1.71096382 1.32519734 -98.031006 75.928215
    Unten rechts KachelX + 1 7462 KachelY + 1 5473 -1.71077207 1.32519734 -98.020019 75.928215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32524395-1.32519734) × R
    4.6610000000058e-05 × 6371000     		dl = 296.952310000369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32524395-1.32519734) × R
    4.6610000000058e-05 × 6371000     		dr = 296.952310000369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71096382--1.71077207) × cos(1.32524395) × R
    0.000191749999999935 × 0.243092169103092 × 6371000     		do = 296.970935143874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71096382--1.71077207) × cos(1.32519734) × R
    0.000191749999999935 × 0.243137380687913 × 6371000     		du = 297.026167390446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32524395)-sin(1.32519734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243092169103092-0.243137380687913)×R²
    abs(-1.71077207--1.71096382)×4.52115848209589e-05×R²
    0.000191749999999935×4.52115848209589e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.52115848209589e-05×40589641000000     		ar = 88194.4058814316m²