Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7461 / 3807
↖ ↑ ↗
← N 68.918910°
W 16.062012°		 ← 878.82 m → N 68.918910°
W 16.040039°		 →
↑
878.94 m
↓
↑
878.94 m
↓
N 68.911005°
W 16.062012°		 ← 879.13 m →
772 571 m²		 N 68.911005°
W 16.040039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455413818359375 y=0.232391357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455413818359375 × 214)
    floor (0.455413818359375 × 16384)
    floor (7461.5)     		tx = 7461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232391357421875 × 214)
    floor (0.232391357421875 × 16384)
    floor (3807.5)     		ty = 3807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7461 / 3807 ti = "14/7461/3807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7461/3807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7461 ÷ 214
    7461 ÷ 16384     		x = 0.45538330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3807 ÷ 214
    3807 ÷ 16384     		y = 0.23236083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45538330078125 × 2 - 1) × π
    -0.0892333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28033499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23236083984375 × 2 - 1) × π
    0.5352783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68162643867157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28033499} λ = -0.28033499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68162643867157))-π/2
    2×atan(5.37428981945692)-π/2
    2×1.38682910791588-π/2
    2.77365821583176-1.57079632675     		φ = 1.20286189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28033499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.062012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20286189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.918910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7461 KachelY 3807 -0.28033499 1.20286189 -16.062012 68.918910
    Oben rechts KachelX + 1 7462 KachelY 3807 -0.27995149 1.20286189 -16.040039 68.918910
    Unten links KachelX 7461 KachelY + 1 3808 -0.28033499 1.20272393 -16.062012 68.911005
    Unten rechts KachelX + 1 7462 KachelY + 1 3808 -0.27995149 1.20272393 -16.040039 68.911005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20286189-1.20272393) × R
    0.000137959999999993 × 6371000     		dl = 878.943159999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20286189-1.20272393) × R
    0.000137959999999993 × 6371000     		dr = 878.943159999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28033499--0.27995149) × cos(1.20286189) × R
    0.000383499999999981 × 0.359688880849042 × 6371000     		do = 878.820109267483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28033499--0.27995149) × cos(1.20272393) × R
    0.000383499999999981 × 0.359817604079576 × 6371000     		du = 879.134615969096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20286189)-sin(1.20272393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359688880849042-0.359817604079576)×R²
    abs(-0.27995149--0.28033499)×0.000128723230533423×R²
    0.000383499999999981×0.000128723230533423×6371000²
    0.000383499999999981×0.000128723230533423×40589641000000     		ar = 772571.141893819m²