Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74606 / 53115
↖ ↑ ↗
← N 32.261588°
E 24.911499°		 ← 258.27 m → N 32.261588°
E 24.914246°		 →
↑
258.22 m
↓
↑
258.22 m
↓
N 32.259266°
E 24.911499°		 ← 258.28 m →
66 692 m²		 N 32.259266°
E 24.914246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569202423095703 y=0.405239105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569202423095703 × 217)
    floor (0.569202423095703 × 131072)
    floor (74606.5)     		tx = 74606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405239105224609 × 217)
    floor (0.405239105224609 × 131072)
    floor (53115.5)     		ty = 53115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74606 / 53115 ti = "17/74606/53115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74606/53115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74606 ÷ 217
    74606 ÷ 131072     		x = 0.569198608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53115 ÷ 217
    53115 ÷ 131072     		y = 0.405235290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569198608398438 × 2 - 1) × π
    0.138397216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43478768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405235290527344 × 2 - 1) × π
    0.189529418945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.595424230180717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43478768} λ = 0.43478768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.595424230180717))-π/2
    2×atan(1.81380025057538)-π/2
    2×1.06693362983049-π/2
    2.13386725966098-1.57079632675     		φ = 0.56307093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43478768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.911499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56307093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.261588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74606 KachelY 53115 0.43478768 0.56307093 24.911499 32.261588
    Oben rechts KachelX + 1 74607 KachelY 53115 0.43483562 0.56307093 24.914246 32.261588
    Unten links KachelX 74606 KachelY + 1 53116 0.43478768 0.56303040 24.911499 32.259266
    Unten rechts KachelX + 1 74607 KachelY + 1 53116 0.43483562 0.56303040 24.914246 32.259266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56307093-0.56303040) × R
    4.05299999999276e-05 × 6371000     		dl = 258.216629999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56307093-0.56303040) × R
    4.05299999999276e-05 × 6371000     		dr = 258.216629999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43478768-0.43483562) × cos(0.56307093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.845619882882986 × 6371000     		do = 258.27407848808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43478768-0.43483562) × cos(0.56303040) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.84564151651679 × 6371000     		du = 258.280685956694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56307093)-sin(0.56303040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845619882882986-0.84564151651679)×R²
    abs(0.43483562-0.43478768)×2.16336338044743e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.16336338044743e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.16336338044743e-05×40589641000000     		ar = 66691.515251712m²