Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74605 / 56267
↖ ↑ ↗
← N 24.659498°
E 24.908752°		 ← 277.57 m → N 24.659498°
E 24.911499°		 →
↑
277.58 m
↓
↑
277.58 m
↓
N 24.657002°
E 24.908752°		 ← 277.58 m →
77 050 m²		 N 24.657002°
E 24.911499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569194793701172 y=0.429286956787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569194793701172 × 217)
    floor (0.569194793701172 × 131072)
    floor (74605.5)     		tx = 74605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429286956787109 × 217)
    floor (0.429286956787109 × 131072)
    floor (56267.5)     		ty = 56267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74605 / 56267 ti = "17/74605/56267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74605/56267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74605 ÷ 217
    74605 ÷ 131072     		x = 0.569190979003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56267 ÷ 217
    56267 ÷ 131072     		y = 0.429283142089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569190979003906 × 2 - 1) × π
    0.138381958007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.43473974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429283142089844 × 2 - 1) × π
    0.141433715820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.4443271225783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43473974} λ = 0.43473974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4443271225783))-π/2
    2×atan(1.5594405304008)-π/2
    2×1.0005928820142-π/2
    2.0011857640284-1.57079632675     		φ = 0.43038944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43473974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.908752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43038944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.659498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74605 KachelY 56267 0.43473974 0.43038944 24.908752 24.659498
    Oben rechts KachelX + 1 74606 KachelY 56267 0.43478768 0.43038944 24.911499 24.659498
    Unten links KachelX 74605 KachelY + 1 56268 0.43473974 0.43034587 24.908752 24.657002
    Unten rechts KachelX + 1 74606 KachelY + 1 56268 0.43478768 0.43034587 24.911499 24.657002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43038944-0.43034587) × R
    4.35699999999928e-05 × 6371000     		dl = 277.584469999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43038944-0.43034587) × R
    4.35699999999928e-05 × 6371000     		dr = 277.584469999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43473974-0.43478768) × cos(0.43038944) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.908803334585222 × 6371000     		do = 277.571930980298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43473974-0.43478768) × cos(0.43034587) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.90882151220533 × 6371000     		du = 277.577482893371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43038944)-sin(0.43034587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908803334585222-0.90882151220533)×R²
    abs(0.43478768-0.43473974)×1.81776201079176e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.81776201079176e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.81776201079176e-05×40589641000000     		ar = 77050.4279226792m²