Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74605 / 53097
↖ ↑ ↗
← N 32.303385°
E 24.908752°		 ← 258.16 m → N 32.303385°
E 24.911499°		 →
↑
258.15 m
↓
↑
258.15 m
↓
N 32.301063°
E 24.908752°		 ← 258.16 m →
66 644 m²		 N 32.301063°
E 24.911499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569194793701172 y=0.405101776123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569194793701172 × 217)
    floor (0.569194793701172 × 131072)
    floor (74605.5)     		tx = 74605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405101776123047 × 217)
    floor (0.405101776123047 × 131072)
    floor (53097.5)     		ty = 53097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74605 / 53097 ti = "17/74605/53097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74605/53097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74605 ÷ 217
    74605 ÷ 131072     		x = 0.569190979003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53097 ÷ 217
    53097 ÷ 131072     		y = 0.405097961425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569190979003906 × 2 - 1) × π
    0.138381958007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.43473974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405097961425781 × 2 - 1) × π
    0.189804077148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.596287094373879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43473974} λ = 0.43473974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.596287094373879))-π/2
    2×atan(1.81536598927793)-π/2
    2×1.06729837335241-π/2
    2.13459674670482-1.57079632675     		φ = 0.56380042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43473974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.908752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56380042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.303385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74605 KachelY 53097 0.43473974 0.56380042 24.908752 32.303385
    Oben rechts KachelX + 1 74606 KachelY 53097 0.43478768 0.56380042 24.911499 32.303385
    Unten links KachelX 74605 KachelY + 1 53098 0.43473974 0.56375990 24.908752 32.301063
    Unten rechts KachelX + 1 74606 KachelY + 1 53098 0.43478768 0.56375990 24.911499 32.301063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56380042-0.56375990) × R
    4.05199999999883e-05 × 6371000     		dl = 258.152919999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56380042-0.56375990) × R
    4.05199999999883e-05 × 6371000     		dr = 258.152919999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43473974-0.43478768) × cos(0.56380042) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.845230266695765 × 6371000     		do = 258.155079676081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43473974-0.43478768) × cos(0.56375990) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.845251919982242 × 6371000     		du = 258.161693147127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56380042)-sin(0.56375990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845230266695765-0.845251919982242)×R²
    abs(0.43478768-0.43473974)×2.16532864772967e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16532864772967e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16532864772967e-05×40589641000000     		ar = 66644.3412837387m²