Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74604 / 53980
↖ ↑ ↗
← N 30.230595°
E 24.906006°		 ← 263.83 m → N 30.230595°
E 24.908752°		 →
↑
263.89 m
↓
↑
263.89 m
↓
N 30.228221°
E 24.906006°		 ← 263.84 m →
69 623 m²		 N 30.228221°
E 24.908752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569187164306641 y=0.411838531494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569187164306641 × 217)
    floor (0.569187164306641 × 131072)
    floor (74604.5)     		tx = 74604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411838531494141 × 217)
    floor (0.411838531494141 × 131072)
    floor (53980.5)     		ty = 53980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74604 / 53980 ti = "17/74604/53980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74604/53980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74604 ÷ 217
    74604 ÷ 131072     		x = 0.569183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53980 ÷ 217
    53980 ÷ 131072     		y = 0.411834716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569183349609375 × 2 - 1) × π
    0.13836669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43469181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411834716796875 × 2 - 1) × π
    0.17633056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.553958812009369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43469181} λ = 0.43469181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.553958812009369))-π/2
    2×atan(1.74012824060783)-π/2
    2×1.04920986838739-π/2
    2.09841973677479-1.57079632675     		φ = 0.52762341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43469181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.906006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52762341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.230595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74604 KachelY 53980 0.43469181 0.52762341 24.906006 30.230595
    Oben rechts KachelX + 1 74605 KachelY 53980 0.43473974 0.52762341 24.908752 30.230595
    Unten links KachelX 74604 KachelY + 1 53981 0.43469181 0.52758199 24.906006 30.228221
    Unten rechts KachelX + 1 74605 KachelY + 1 53981 0.43473974 0.52758199 24.908752 30.228221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52762341-0.52758199) × R
    4.14200000000697e-05 × 6371000     		dl = 263.886820000444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52762341-0.52758199) × R
    4.14200000000697e-05 × 6371000     		dr = 263.886820000444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43469181-0.43473974) × cos(0.52762341) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.864006078223454 × 6371000     		do = 263.834649978509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43469181-0.43473974) × cos(0.52758199) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.864026931680924 × 6371000     		du = 263.841017832614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52762341)-sin(0.52758199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864006078223454-0.864026931680924)×R²
    abs(0.43473974-0.43469181)×2.08534574699382e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.08534574699382e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.08534574699382e-05×40589641000000     		ar = 69623.3269951252m²