Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74603 / 76904
↖ ↑ ↗
← S 29.783450°
E 24.903259°		 ← 265.08 m → S 29.783450°
E 24.906006°		 →
↑
265.03 m
↓
↑
265.03 m
↓
S 29.785833°
E 24.903259°		 ← 265.08 m →
70 255 m²		 S 29.785833°
E 24.906006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569179534912109 y=0.586734771728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569179534912109 × 217)
    floor (0.569179534912109 × 131072)
    floor (74603.5)     		tx = 74603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586734771728516 × 217)
    floor (0.586734771728516 × 131072)
    floor (76904.5)     		ty = 76904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74603 / 76904 ti = "17/74603/76904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74603/76904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74603 ÷ 217
    74603 ÷ 131072     		x = 0.569175720214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76904 ÷ 217
    76904 ÷ 131072     		y = 0.58673095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569175720214844 × 2 - 1) × π
    0.138351440429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.43464387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58673095703125 × 2 - 1) × π
    -0.1734619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.544946674880798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43464387} λ = 0.43464387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544946674880798))-π/2
    2×atan(0.579872704296486)-π/2
    2×0.525488535592789-π/2
    1.05097707118558-1.57079632675     		φ = -0.51981926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43464387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.903259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51981926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.783450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74603 KachelY 76904 0.43464387 -0.51981926 24.903259 -29.783450
    Oben rechts KachelX + 1 74604 KachelY 76904 0.43469181 -0.51981926 24.906006 -29.783450
    Unten links KachelX 74603 KachelY + 1 76905 0.43464387 -0.51986086 24.903259 -29.785833
    Unten rechts KachelX + 1 74604 KachelY + 1 76905 0.43469181 -0.51986086 24.906006 -29.785833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51981926--0.51986086) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dl = 265.033599999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51981926--0.51986086) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dr = 265.033599999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43464387-0.43469181) × cos(-0.51981926) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867908971618773 × 6371000     		do = 265.081739909436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43464387-0.43469181) × cos(-0.51986086) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867888307179343 × 6371000     		du = 265.075428457731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51981926)-sin(-0.51986086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867908971618773-0.867888307179343)×R²
    abs(0.43469181-0.43464387)×2.06644394300515e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.06644394300515e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.06644394300515e-05×40589641000000     		ar = 70254.7314591856m²