Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74603 / 53109
↖ ↑ ↗
← N 32.275522°
E 24.903259°		 ← 258.23 m → N 32.275522°
E 24.906006°		 →
↑
258.22 m
↓
↑
258.22 m
↓
N 32.273200°
E 24.903259°		 ← 258.24 m →
66 681 m²		 N 32.273200°
E 24.906006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569179534912109 y=0.405193328857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569179534912109 × 217)
    floor (0.569179534912109 × 131072)
    floor (74603.5)     		tx = 74603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405193328857422 × 217)
    floor (0.405193328857422 × 131072)
    floor (53109.5)     		ty = 53109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74603 / 53109 ti = "17/74603/53109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74603/53109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74603 ÷ 217
    74603 ÷ 131072     		x = 0.569175720214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53109 ÷ 217
    53109 ÷ 131072     		y = 0.405189514160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569175720214844 × 2 - 1) × π
    0.138351440429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.43464387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405189514160156 × 2 - 1) × π
    0.189620971679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.595711851578438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43464387} λ = 0.43464387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.595711851578438))-π/2
    2×atan(1.81432201337011)-π/2
    2×1.06705522968066-π/2
    2.13411045936132-1.57079632675     		φ = 0.56331413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43464387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.903259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56331413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.275522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74603 KachelY 53109 0.43464387 0.56331413 24.903259 32.275522
    Oben rechts KachelX + 1 74604 KachelY 53109 0.43469181 0.56331413 24.906006 32.275522
    Unten links KachelX 74603 KachelY + 1 53110 0.43464387 0.56327360 24.903259 32.273200
    Unten rechts KachelX + 1 74604 KachelY + 1 53110 0.43469181 0.56327360 24.906006 32.273200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56331413-0.56327360) × R
    4.05299999999276e-05 × 6371000     		dl = 258.216629999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56331413-0.56327360) × R
    4.05299999999276e-05 × 6371000     		dr = 258.216629999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43464387-0.43469181) × cos(0.56331413) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.845490041230823 × 6371000     		do = 258.234421505684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43464387-0.43469181) × cos(0.56327360) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.845511683199281 × 6371000     		du = 258.241031519916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56331413)-sin(0.56327360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845490041230823-0.845511683199281)×R²
    abs(0.43469181-0.43464387)×2.16419684584412e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16419684584412e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16419684584412e-05×40589641000000     		ar = 66681.2754880389m²