Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74602 / 53098
↖ ↑ ↗
← N 32.301063°
E 24.900513°		 ← 258.16 m → N 32.301063°
E 24.903259°		 →
↑
258.15 m
↓
↑
258.15 m
↓
N 32.298741°
E 24.900513°		 ← 258.17 m →
66 646 m²		 N 32.298741°
E 24.903259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569171905517578 y=0.405109405517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569171905517578 × 217)
    floor (0.569171905517578 × 131072)
    floor (74602.5)     		tx = 74602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405109405517578 × 217)
    floor (0.405109405517578 × 131072)
    floor (53098.5)     		ty = 53098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74602 / 53098 ti = "17/74602/53098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74602/53098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74602 ÷ 217
    74602 ÷ 131072     		x = 0.569168090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53098 ÷ 217
    53098 ÷ 131072     		y = 0.405105590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569168090820312 × 2 - 1) × π
    0.138336181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43459593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405105590820312 × 2 - 1) × π
    0.189788818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.596239157474258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43459593} λ = 0.43459593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.596239157474258))-π/2
    2×atan(1.8152789683465)-π/2
    2×1.06727811423369-π/2
    2.13455622846739-1.57079632675     		φ = 0.56375990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43459593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.900513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56375990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.301063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74602 KachelY 53098 0.43459593 0.56375990 24.900513 32.301063
    Oben rechts KachelX + 1 74603 KachelY 53098 0.43464387 0.56375990 24.903259 32.301063
    Unten links KachelX 74602 KachelY + 1 53099 0.43459593 0.56371938 24.900513 32.298741
    Unten rechts KachelX + 1 74603 KachelY + 1 53099 0.43464387 0.56371938 24.903259 32.298741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56375990-0.56371938) × R
    4.05199999999883e-05 × 6371000     		dl = 258.152919999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56375990-0.56371938) × R
    4.05199999999883e-05 × 6371000     		dr = 258.152919999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43459593-0.43464387) × cos(0.56375990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.845251919982242 × 6371000     		do = 258.161693146828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43459593-0.43464387) × cos(0.56371938) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.845273571880925 × 6371000     		du = 258.168306194005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56375990)-sin(0.56371938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845251919982242-0.845273571880925)×R²
    abs(0.43464387-0.43459593)×2.16518986831948e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.16518986831948e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.16518986831948e-05×40589641000000     		ar = 66646.0485158503m²