Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74600 / 76903
↖ ↑ ↗
← S 29.781066°
E 24.895020°		 ← 265.09 m → S 29.781066°
E 24.897766°		 →
↑
265.10 m
↓
↑
265.10 m
↓
S 29.783450°
E 24.895020°		 ← 265.08 m →
70 273 m²		 S 29.783450°
E 24.897766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569156646728516 y=0.586727142333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569156646728516 × 217)
    floor (0.569156646728516 × 131072)
    floor (74600.5)     		tx = 74600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586727142333984 × 217)
    floor (0.586727142333984 × 131072)
    floor (76903.5)     		ty = 76903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74600 / 76903 ti = "17/74600/76903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74600/76903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74600 ÷ 217
    74600 ÷ 131072     		x = 0.56915283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76903 ÷ 217
    76903 ÷ 131072     		y = 0.586723327636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56915283203125 × 2 - 1) × π
    0.1383056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43450006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586723327636719 × 2 - 1) × π
    -0.173446655273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.544898737981178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43450006} λ = 0.43450006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544898737981178))-π/2
    2×atan(0.579900502262373)-π/2
    2×0.525509338273131-π/2
    1.05101867654626-1.57079632675     		φ = -0.51977765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43450006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.895020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51977765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.781066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74600 KachelY 76903 0.43450006 -0.51977765 24.895020 -29.781066
    Oben rechts KachelX + 1 74601 KachelY 76903 0.43454800 -0.51977765 24.897766 -29.781066
    Unten links KachelX 74600 KachelY + 1 76904 0.43450006 -0.51981926 24.895020 -29.783450
    Unten rechts KachelX + 1 74601 KachelY + 1 76904 0.43454800 -0.51981926 24.897766 -29.783450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51977765--0.51981926) × R
    4.16100000000252e-05 × 6371000     		dl = 265.097310000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51977765--0.51981926) × R
    4.16100000000252e-05 × 6371000     		dr = 265.097310000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43450006-0.43454800) × cos(-0.51977765) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867929639523106 × 6371000     		do = 265.088052419104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43450006-0.43454800) × cos(-0.51981926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867908971618773 × 6371000     		du = 265.081739909129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51977765)-sin(-0.51981926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867929639523106-0.867908971618773)×R²
    abs(0.43454800-0.43450006)×2.06679043333047e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.06679043333047e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.06679043333047e-05×40589641000000     		ar = 70273.2929048944m²