Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7460 / 5410
↖ ↑ ↗
← N 76.095517°
W 98.041992°		 ← 293.56 m → N 76.095517°
W 98.031006°		 →
↑
293.64 m
↓
↑
293.64 m
↓
N 76.092876°
W 98.041992°		 ← 293.62 m →
86 210 m²		 N 76.092876°
W 98.031006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227676391601562 y=0.165115356445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227676391601562 × 215)
    floor (0.227676391601562 × 32768)
    floor (7460.5)     		tx = 7460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165115356445312 × 215)
    floor (0.165115356445312 × 32768)
    floor (5410.5)     		ty = 5410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7460 / 5410 ti = "15/7460/5410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7460/5410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7460 ÷ 215
    7460 ÷ 32768     		x = 0.2276611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5410 ÷ 215
    5410 ÷ 32768     		y = 0.16510009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2276611328125 × 2 - 1) × π
    -0.544677734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.71115557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16510009765625 × 2 - 1) × π
    0.6697998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10423814572198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71115557} λ = -1.71115557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10423814572198))-π/2
    2×atan(8.20085277424442)-π/2
    2×1.44945682163543-π/2
    2.89891364327087-1.57079632675     		φ = 1.32811732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71115557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32811732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.095517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7460 KachelY 5410 -1.71115557 1.32811732 -98.041992 76.095517
    Oben rechts KachelX + 1 7461 KachelY 5410 -1.71096382 1.32811732 -98.031006 76.095517
    Unten links KachelX 7460 KachelY + 1 5411 -1.71115557 1.32807123 -98.041992 76.092876
    Unten rechts KachelX + 1 7461 KachelY + 1 5411 -1.71096382 1.32807123 -98.031006 76.092876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32811732-1.32807123) × R
    4.60900000001097e-05 × 6371000     		dl = 293.639390000699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32811732-1.32807123) × R
    4.60900000001097e-05 × 6371000     		dr = 293.639390000699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71115557--1.71096382) × cos(1.32811732) × R
    0.000191750000000157 × 0.240303991344617 × 6371000     		do = 293.564787758485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71115557--1.71096382) × cos(1.32807123) × R
    0.000191750000000157 × 0.240348730545572 × 6371000     		du = 293.619442922386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32811732)-sin(1.32807123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240303991344617-0.240348730545572)×R²
    abs(-1.71096382--1.71115557)×4.47392009553793e-05×R²
    0.000191750000000157×4.47392009553793e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.47392009553793e-05×40589641000000     		ar = 86210.2096721559m²