Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 746 / 857
↖ ↑ ↗
← N 28.149503°
W 48.867188°		 ← 17.234 km → N 28.149503°
W 48.691406°		 →
↑
17.246 km
↓
↑
17.246 km
↓
N 27.994402°
W 48.867188°		 ← 17.259 km →
297.442 km²		 N 27.994402°
W 48.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364501953125 y=0.418701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364501953125 × 211)
    floor (0.364501953125 × 2048)
    floor (746.5)     		tx = 746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418701171875 × 211)
    floor (0.418701171875 × 2048)
    floor (857.5)     		ty = 857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 746 / 857 ti = "11/746/857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/746/857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 746 ÷ 211
    746 ÷ 2048     		x = 0.3642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 857 ÷ 211
    857 ÷ 2048     		y = 0.41845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3642578125 × 2 - 1) × π
    -0.271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85289332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41845703125 × 2 - 1) × π
    0.1630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.51234958313916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85289332} λ = -0.85289332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.51234958313916))-π/2
    2×atan(1.66920853531561)-π/2
    2×1.03104892031208-π/2
    2.06209784062416-1.57079632675     		φ = 0.49130151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85289332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.867188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49130151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.149503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 746 KachelY 857 -0.85289332 0.49130151 -48.867188 28.149503
    Oben rechts KachelX + 1 747 KachelY 857 -0.84982536 0.49130151 -48.691406 28.149503
    Unten links KachelX 746 KachelY + 1 858 -0.85289332 0.48859448 -48.867188 27.994402
    Unten rechts KachelX + 1 747 KachelY + 1 858 -0.84982536 0.48859448 -48.691406 27.994402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49130151-0.48859448) × R
    0.00270703 × 6371000     		dl = 17246.48813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49130151-0.48859448) × R
    0.00270703 × 6371000     		dr = 17246.48813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85289332--0.84982536) × cos(0.49130151) × R
    0.00306795999999998 × 0.881719587179151 × 6371000     		do = 17234.0673856499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85289332--0.84982536) × cos(0.48859448) × R
    0.00306795999999998 × 0.882993460972506 × 6371000     		du = 17258.966488624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49130151)-sin(0.48859448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881719587179151-0.882993460972506)×R²
    abs(-0.84982536--0.85289332)×0.00127387379335497×R²
    0.00306795999999998×0.00127387379335497×6371000²
    0.00306795999999998×0.00127387379335497×40589641000000     		ar = 297442031.278412m²