Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 746 / 1262
↖ ↑ ↗
← S 38.548166°
W 48.867188°		 ← 15.287 km → S 38.548166°
W 48.691406°		 →
↑
15.272 km
↓
↑
15.272 km
↓
S 38.685510°
W 48.867188°		 ← 15.257 km →
233.234 km²		 S 38.685510°
W 48.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364501953125 y=0.616455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364501953125 × 211)
    floor (0.364501953125 × 2048)
    floor (746.5)     		tx = 746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616455078125 × 211)
    floor (0.616455078125 × 2048)
    floor (1262.5)     		ty = 1262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 746 / 1262 ti = "11/746/1262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/746/1262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 746 ÷ 211
    746 ÷ 2048     		x = 0.3642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1262 ÷ 211
    1262 ÷ 2048     		y = 0.6162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3642578125 × 2 - 1) × π
    -0.271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85289332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6162109375 × 2 - 1) × π
    -0.232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.730174855012695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85289332} λ = -0.85289332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.730174855012695))-π/2
    2×atan(0.481824733254202)-π/2
    2×0.449001959787812-π/2
    0.898003919575623-1.57079632675     		φ = -0.67279241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85289332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.867188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67279241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.548166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 746 KachelY 1262 -0.85289332 -0.67279241 -48.867188 -38.548166
    Oben rechts KachelX + 1 747 KachelY 1262 -0.84982536 -0.67279241 -48.691406 -38.548166
    Unten links KachelX 746 KachelY + 1 1263 -0.85289332 -0.67518952 -48.867188 -38.685510
    Unten rechts KachelX + 1 747 KachelY + 1 1263 -0.84982536 -0.67518952 -48.691406 -38.685510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67279241--0.67518952) × R
    0.00239710999999998 × 6371000     		dl = 15271.9878099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67279241--0.67518952) × R
    0.00239710999999998 × 6371000     		dr = 15271.9878099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85289332--0.84982536) × cos(-0.67279241) × R
    0.00306795999999998 × 0.782084564710599 × 6371000     		do = 15286.6039106835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85289332--0.84982536) × cos(-0.67518952) × R
    0.00306795999999998 × 0.78058850657304 × 6371000     		du = 15257.361998481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67279241)-sin(-0.67518952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782084564710599-0.78058850657304)×R²
    abs(-0.84982536--0.85289332)×0.00149605813755893×R²
    0.00306795999999998×0.00149605813755893×6371000²
    0.00306795999999998×0.00149605813755893×40589641000000     		ar = 233233649.199613m²