Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74599 / 53988
↖ ↑ ↗
← N 30.211608°
E 24.892273°		 ← 263.94 m → N 30.211608°
E 24.895020°		 →
↑
263.95 m
↓
↑
263.95 m
↓
N 30.209235°
E 24.892273°		 ← 263.95 m →
69 668 m²		 N 30.209235°
E 24.895020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569149017333984 y=0.411899566650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569149017333984 × 217)
    floor (0.569149017333984 × 131072)
    floor (74599.5)     		tx = 74599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411899566650391 × 217)
    floor (0.411899566650391 × 131072)
    floor (53988.5)     		ty = 53988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74599 / 53988 ti = "17/74599/53988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74599/53988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74599 ÷ 217
    74599 ÷ 131072     		x = 0.569145202636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53988 ÷ 217
    53988 ÷ 131072     		y = 0.411895751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569145202636719 × 2 - 1) × π
    0.138290405273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.43445212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411895751953125 × 2 - 1) × π
    0.17620849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.553575316812408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43445212} λ = 0.43445212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.553575316812408))-π/2
    2×atan(1.73946103772819)-π/2
    2×1.04904418130471-π/2
    2.09808836260942-1.57079632675     		φ = 0.52729204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43445212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.892273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52729204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.211608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74599 KachelY 53988 0.43445212 0.52729204 24.892273 30.211608
    Oben rechts KachelX + 1 74600 KachelY 53988 0.43450006 0.52729204 24.895020 30.211608
    Unten links KachelX 74599 KachelY + 1 53989 0.43445212 0.52725061 24.892273 30.209235
    Unten rechts KachelX + 1 74600 KachelY + 1 53989 0.43450006 0.52725061 24.895020 30.209235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52729204-0.52725061) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dl = 263.950530000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52729204-0.52725061) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dr = 263.950530000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43445212-0.43450006) × cos(0.52729204) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.864172869407675 × 6371000     		do = 263.940638126895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43445212-0.43450006) × cos(0.52725061) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.864193716036668 × 6371000     		du = 263.947005223982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52729204)-sin(0.52725061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864172869407675-0.864193716036668)×R²
    abs(0.43450006-0.43445212)×2.08466289928211e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08466289928211e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08466289928211e-05×40589641000000     		ar = 69668.111631566m²