Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74598 / 77534
↖ ↑ ↗
← S 31.273856°
E 24.889526°		 ← 261.05 m → S 31.273856°
E 24.892273°		 →
↑
261.02 m
↓
↑
261.02 m
↓
S 31.276204°
E 24.889526°		 ← 261.04 m →
68 137 m²		 S 31.276204°
E 24.892273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569141387939453 y=0.591541290283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569141387939453 × 217)
    floor (0.569141387939453 × 131072)
    floor (74598.5)     		tx = 74598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591541290283203 × 217)
    floor (0.591541290283203 × 131072)
    floor (77534.5)     		ty = 77534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74598 / 77534 ti = "17/74598/77534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74598/77534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74598 ÷ 217
    74598 ÷ 131072     		x = 0.569137573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77534 ÷ 217
    77534 ÷ 131072     		y = 0.591537475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569137573242188 × 2 - 1) × π
    0.138275146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43440418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591537475585938 × 2 - 1) × π
    -0.183074951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.575146921641434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43440418} λ = 0.43440418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.575146921641434))-π/2
    2×atan(0.562622201356955)-π/2
    2×0.512482284980932-π/2
    1.02496456996186-1.57079632675     		φ = -0.54583176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43440418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.889526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54583176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.273856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74598 KachelY 77534 0.43440418 -0.54583176 24.889526 -31.273856
    Oben rechts KachelX + 1 74599 KachelY 77534 0.43445212 -0.54583176 24.892273 -31.273856
    Unten links KachelX 74598 KachelY + 1 77535 0.43440418 -0.54587273 24.889526 -31.276204
    Unten rechts KachelX + 1 74599 KachelY + 1 77535 0.43445212 -0.54587273 24.892273 -31.276204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54583176--0.54587273) × R
    4.0970000000029e-05 × 6371000     		dl = 261.019870000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54583176--0.54587273) × R
    4.0970000000029e-05 × 6371000     		dr = 261.019870000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43440418-0.43445212) × cos(-0.54583176) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.854695795600219 × 6371000     		do = 261.046095846217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43440418-0.43445212) × cos(-0.54587273) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.854674526160737 × 6371000     		du = 261.039599611923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54583176)-sin(-0.54587273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854695795600219-0.854674526160737)×R²
    abs(0.43445212-0.43440418)×2.12694394823298e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12694394823298e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12694394823298e-05×40589641000000     		ar = 68137.3701882571m²