Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74591 / 53405
↖ ↑ ↗
← N 31.585555°
E 24.870301°		 ← 260.13 m → N 31.585555°
E 24.873047°		 →
↑
260.19 m
↓
↑
260.19 m
↓
N 31.583215°
E 24.870301°		 ← 260.13 m →
67 683 m²		 N 31.583215°
E 24.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569087982177734 y=0.407451629638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569087982177734 × 217)
    floor (0.569087982177734 × 131072)
    floor (74591.5)     		tx = 74591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407451629638672 × 217)
    floor (0.407451629638672 × 131072)
    floor (53405.5)     		ty = 53405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74591 / 53405 ti = "17/74591/53405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74591/53405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74591 ÷ 217
    74591 ÷ 131072     		x = 0.569084167480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53405 ÷ 217
    53405 ÷ 131072     		y = 0.407447814941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569084167480469 × 2 - 1) × π
    0.138168334960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.43406863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407447814941406 × 2 - 1) × π
    0.185104370117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.581522529290901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43406863} λ = 0.43406863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.581522529290901))-π/2
    2×atan(1.78875979773034)-π/2
    2×1.06103412699197-π/2
    2.12206825398394-1.57079632675     		φ = 0.55127193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43406863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.870301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55127193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.585555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74591 KachelY 53405 0.43406863 0.55127193 24.870301 31.585555
    Oben rechts KachelX + 1 74592 KachelY 53405 0.43411656 0.55127193 24.873047 31.585555
    Unten links KachelX 74591 KachelY + 1 53406 0.43406863 0.55123109 24.870301 31.583215
    Unten rechts KachelX + 1 74592 KachelY + 1 53406 0.43411656 0.55123109 24.873047 31.583215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55127193-0.55123109) × R
    4.08399999999309e-05 × 6371000     		dl = 260.19163999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55127193-0.55123109) × R
    4.08399999999309e-05 × 6371000     		dr = 260.19163999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43406863-0.43411656) × cos(0.55127193) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.851859011062152 × 6371000     		do = 260.125396891589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43406863-0.43411656) × cos(0.55123109) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.851880401165802 × 6371000     		du = 260.131928617062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55127193)-sin(0.55123109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851859011062152-0.851880401165802)×R²
    abs(0.43411656-0.43406863)×2.13901036499875e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.13901036499875e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.13901036499875e-05×40589641000000     		ar = 67683.3033823924m²