Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7459 / 7335
↖ ↑ ↗
← S 80.466790°
E147.788086°		 ← 809.31 m → S 80.466790°
E147.832032°		 →
↑
808.99 m
↓
↑
808.99 m
↓
S 80.474065°
E147.788086°		 ← 808.70 m →
654 474 m²		 S 80.474065°
E147.832032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91058349609375 y=0.89544677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91058349609375 × 213)
    floor (0.91058349609375 × 8192)
    floor (7459.5)     		tx = 7459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89544677734375 × 213)
    floor (0.89544677734375 × 8192)
    floor (7335.5)     		ty = 7335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7459 / 7335 ti = "13/7459/7335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7459/7335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7459 ÷ 213
    7459 ÷ 8192     		x = 0.9105224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7335 ÷ 213
    7335 ÷ 8192     		y = 0.8953857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9105224609375 × 2 - 1) × π
    0.821044921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.57938869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8953857421875 × 2 - 1) × π
    -0.790771484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.48428188590979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57938869} λ = 2.57938869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48428188590979))-π/2
    2×atan(0.0833854132569844)-π/2
    2×0.0831929524172402-π/2
    0.16638590483448-1.57079632675     		φ = -1.40441042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57938869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.788086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40441042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.466790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7459 KachelY 7335 2.57938869 -1.40441042 147.788086 -80.466790
    Oben rechts KachelX + 1 7460 KachelY 7335 2.58015569 -1.40441042 147.832032 -80.466790
    Unten links KachelX 7459 KachelY + 1 7336 2.57938869 -1.40453740 147.788086 -80.474065
    Unten rechts KachelX + 1 7460 KachelY + 1 7336 2.58015569 -1.40453740 147.832032 -80.474065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40441042--1.40453740) × R
    0.000126979999999888 × 6371000     		dl = 808.989579999285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40441042--1.40453740) × R
    0.000126979999999888 × 6371000     		dr = 808.989579999285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57938869-2.58015569) × cos(-1.40441042) × R
    0.00076699999999974 × 0.165619256711339 × 6371000     		do = 809.307938217316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57938869-2.58015569) × cos(-1.40453740) × R
    0.00076699999999974 × 0.165494028999507 × 6371000     		du = 808.696005865468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40441042)-sin(-1.40453740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165619256711339-0.165494028999507)×R²
    abs(2.58015569-2.57938869)×0.00012522771183221×R²
    0.00076699999999974×0.00012522771183221×6371000²
    0.00076699999999974×0.00012522771183221×40589641000000     		ar = 654474.166458909m²