Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7459 / 5497
↖ ↑ ↗
← N 75.863963°
W 98.052979°		 ← 298.35 m → N 75.863963°
W 98.041992°		 →
↑
298.35 m
↓
↑
298.35 m
↓
N 75.861279°
W 98.052979°		 ← 298.41 m →
89 024 m²		 N 75.861279°
W 98.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227645874023438 y=0.167770385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227645874023438 × 215)
    floor (0.227645874023438 × 32768)
    floor (7459.5)     		tx = 7459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167770385742188 × 215)
    floor (0.167770385742188 × 32768)
    floor (5497.5)     		ty = 5497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7459 / 5497 ti = "15/7459/5497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7459/5497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7459 ÷ 215
    7459 ÷ 32768     		x = 0.227630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5497 ÷ 215
    5497 ÷ 32768     		y = 0.167755126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.54473876953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.71134732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167755126953125 × 2 - 1) × π
    0.66448974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.08755610465421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71134732} λ = -1.71134732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08755610465421))-π/2
    2×atan(8.06518060218839)-π/2
    2×1.44743612991886-π/2
    2.89487225983772-1.57079632675     		φ = 1.32407593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71134732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.052979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32407593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.863963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7459 KachelY 5497 -1.71134732 1.32407593 -98.052979 75.863963
    Oben rechts KachelX + 1 7460 KachelY 5497 -1.71115557 1.32407593 -98.041992 75.863963
    Unten links KachelX 7459 KachelY + 1 5498 -1.71134732 1.32402910 -98.052979 75.861279
    Unten rechts KachelX + 1 7460 KachelY + 1 5498 -1.71115557 1.32402910 -98.041992 75.861279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32407593-1.32402910) × R
    4.68300000000532e-05 × 6371000     		dl = 298.353930000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32407593-1.32402910) × R
    4.68300000000532e-05 × 6371000     		dr = 298.353930000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71134732--1.71115557) × cos(1.32407593) × R
    0.000191749999999935 × 0.244224986154958 × 6371000     		do = 298.354828917503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71134732--1.71115557) × cos(1.32402910) × R
    0.000191749999999935 × 0.244270397809011 × 6371000     		du = 298.410305576501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32407593)-sin(1.32402910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244224986154958-0.244270397809011)×R²
    abs(-1.71115557--1.71134732)×4.54116540526128e-05×R²
    0.000191749999999935×4.54116540526128e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.54116540526128e-05×40589641000000     		ar = 89023.6115979832m²