Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7459 / 3809
↖ ↑ ↗
← N 68.903097°
W 16.105957°		 ← 879.45 m → N 68.903097°
W 16.083984°		 →
↑
879.58 m
↓
↑
879.58 m
↓
N 68.895187°
W 16.105957°		 ← 879.76 m →
773 685 m²		 N 68.895187°
W 16.083984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455291748046875 y=0.232513427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455291748046875 × 214)
    floor (0.455291748046875 × 16384)
    floor (7459.5)     		tx = 7459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232513427734375 × 214)
    floor (0.232513427734375 × 16384)
    floor (3809.5)     		ty = 3809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7459 / 3809 ti = "14/7459/3809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7459/3809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7459 ÷ 214
    7459 ÷ 16384     		x = 0.45526123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3809 ÷ 214
    3809 ÷ 16384     		y = 0.23248291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45526123046875 × 2 - 1) × π
    -0.0894775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28110198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23248291015625 × 2 - 1) × π
    0.5350341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.68085944827765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28110198} λ = -0.28110198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68085944827765))-π/2
    2×atan(5.37016937116537)-π/2
    2×1.38669111958878-π/2
    2.77338223917756-1.57079632675     		φ = 1.20258591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28110198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.105957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20258591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.903097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7459 KachelY 3809 -0.28110198 1.20258591 -16.105957 68.903097
    Oben rechts KachelX + 1 7460 KachelY 3809 -0.28071848 1.20258591 -16.083984 68.903097
    Unten links KachelX 7459 KachelY + 1 3810 -0.28110198 1.20244785 -16.105957 68.895187
    Unten rechts KachelX + 1 7460 KachelY + 1 3810 -0.28071848 1.20244785 -16.083984 68.895187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20258591-1.20244785) × R
    0.000138060000000051 × 6371000     		dl = 879.580260000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20258591-1.20244785) × R
    0.000138060000000051 × 6371000     		dr = 879.580260000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28110198--0.28071848) × cos(1.20258591) × R
    0.000383499999999981 × 0.359946376440095 × 6371000     		do = 879.449242708946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28110198--0.28071848) × cos(1.20244785) × R
    0.000383499999999981 × 0.36007517926074 × 6371000     		du = 879.763943871368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20258591)-sin(1.20244785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359946376440095-0.36007517926074)×R²
    abs(-0.28071848--0.28110198)×0.000128802820645146×R²
    0.000383499999999981×0.000128802820645146×6371000²
    0.000383499999999981×0.000128802820645146×40589641000000     		ar = 773684.597252419m²