Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74589 / 53844
↖ ↑ ↗
← N 30.552800°
E 24.864807°		 ← 263.02 m → N 30.552800°
E 24.867554°		 →
↑
262.99 m
↓
↑
262.99 m
↓
N 30.550435°
E 24.864807°		 ← 263.03 m →
69 174 m²		 N 30.550435°
E 24.867554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569072723388672 y=0.410800933837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569072723388672 × 217)
    floor (0.569072723388672 × 131072)
    floor (74589.5)     		tx = 74589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410800933837891 × 217)
    floor (0.410800933837891 × 131072)
    floor (53844.5)     		ty = 53844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74589 / 53844 ti = "17/74589/53844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74589/53844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74589 ÷ 217
    74589 ÷ 131072     		x = 0.569068908691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53844 ÷ 217
    53844 ÷ 131072     		y = 0.410797119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569068908691406 × 2 - 1) × π
    0.138137817382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.43397275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410797119140625 × 2 - 1) × π
    0.17840576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.560478230357697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43397275} λ = 0.43397275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.560478230357697))-π/2
    2×atan(1.75150992525719)-π/2
    2×1.05202164485028-π/2
    2.10404328970055-1.57079632675     		φ = 0.53324696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43397275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.864807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53324696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.552800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74589 KachelY 53844 0.43397275 0.53324696 24.864807 30.552800
    Oben rechts KachelX + 1 74590 KachelY 53844 0.43402069 0.53324696 24.867554 30.552800
    Unten links KachelX 74589 KachelY + 1 53845 0.43397275 0.53320568 24.864807 30.550435
    Unten rechts KachelX + 1 74590 KachelY + 1 53845 0.43402069 0.53320568 24.867554 30.550435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53324696-0.53320568) × R
    4.12800000000324e-05 × 6371000     		dl = 262.994880000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53324696-0.53320568) × R
    4.12800000000324e-05 × 6371000     		dr = 262.994880000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43397275-0.43402069) × cos(0.53324696) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.861161078686129 × 6371000     		do = 263.020759716737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43397275-0.43402069) × cos(0.53320568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.861182061904436 × 6371000     		du = 263.027168531716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53324696)-sin(0.53320568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861161078686129-0.861182061904436)×R²
    abs(0.43402069-0.43397275)×2.09832183067915e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09832183067915e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09832183067915e-05×40589641000000     		ar = 69173.9558918681m²