Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74589 / 53395
↖ ↑ ↗
← N 31.608949°
E 24.864807°		 ← 260.11 m → N 31.608949°
E 24.867554°		 →
↑
260.06 m
↓
↑
260.06 m
↓
N 31.606610°
E 24.864807°		 ← 260.12 m →
67 647 m²		 N 31.606610°
E 24.867554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569072723388672 y=0.407375335693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569072723388672 × 217)
    floor (0.569072723388672 × 131072)
    floor (74589.5)     		tx = 74589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407375335693359 × 217)
    floor (0.407375335693359 × 131072)
    floor (53395.5)     		ty = 53395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74589 / 53395 ti = "17/74589/53395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74589/53395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74589 ÷ 217
    74589 ÷ 131072     		x = 0.569068908691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53395 ÷ 217
    53395 ÷ 131072     		y = 0.407371520996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569068908691406 × 2 - 1) × π
    0.138137817382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.43397275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407371520996094 × 2 - 1) × π
    0.185256958007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.582001898287102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43397275} λ = 0.43397275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.582001898287102))-π/2
    2×atan(1.78961747927556)-π/2
    2×1.06123827875592-π/2
    2.12247655751183-1.57079632675     		φ = 0.55168023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43397275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.864807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55168023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.608949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74589 KachelY 53395 0.43397275 0.55168023 24.864807 31.608949
    Oben rechts KachelX + 1 74590 KachelY 53395 0.43402069 0.55168023 24.867554 31.608949
    Unten links KachelX 74589 KachelY + 1 53396 0.43397275 0.55163941 24.864807 31.606610
    Unten rechts KachelX + 1 74590 KachelY + 1 53396 0.43402069 0.55163941 24.867554 31.606610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55168023-0.55163941) × R
    4.08199999999415e-05 × 6371000     		dl = 260.064219999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55168023-0.55163941) × R
    4.08199999999415e-05 × 6371000     		dr = 260.064219999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43397275-0.43402069) × cos(0.55168023) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.851645084298314 × 6371000     		do = 260.114330089004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43397275-0.43402069) × cos(0.55163941) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.851666478123401 × 6371000     		du = 260.120864313863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55168023)-sin(0.55163941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851645084298314-0.851666478123401)×R²
    abs(0.43402069-0.43397275)×2.13938250870349e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.13938250870349e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.13938250870349e-05×40589641000000     		ar = 67647.2800338965m²