Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74588 / 53846
↖ ↑ ↗
← N 30.548070°
E 24.862061°		 ← 262.98 m → N 30.548070°
E 24.864807°		 →
↑
263.06 m
↓
↑
263.06 m
↓
N 30.545704°
E 24.862061°		 ← 262.99 m →
69 180 m²		 N 30.545704°
E 24.864807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569065093994141 y=0.410816192626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569065093994141 × 217)
    floor (0.569065093994141 × 131072)
    floor (74588.5)     		tx = 74588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410816192626953 × 217)
    floor (0.410816192626953 × 131072)
    floor (53846.5)     		ty = 53846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74588 / 53846 ti = "17/74588/53846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74588/53846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74588 ÷ 217
    74588 ÷ 131072     		x = 0.569061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53846 ÷ 217
    53846 ÷ 131072     		y = 0.410812377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569061279296875 × 2 - 1) × π
    0.13812255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43392482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410812377929688 × 2 - 1) × π
    0.178375244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.560382356558456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43392482} λ = 0.43392482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.560382356558456))-π/2
    2×atan(1.75134200939574)-π/2
    2×1.05198036245225-π/2
    2.1039607249045-1.57079632675     		φ = 0.53316440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43392482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.862061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53316440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.548070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74588 KachelY 53846 0.43392482 0.53316440 24.862061 30.548070
    Oben rechts KachelX + 1 74589 KachelY 53846 0.43397275 0.53316440 24.864807 30.548070
    Unten links KachelX 74588 KachelY + 1 53847 0.43392482 0.53312311 24.862061 30.545704
    Unten rechts KachelX + 1 74589 KachelY + 1 53847 0.43397275 0.53312311 24.864807 30.545704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53316440-0.53312311) × R
    4.12899999999716e-05 × 6371000     		dl = 263.058589999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53316440-0.53312311) × R
    4.12899999999716e-05 × 6371000     		dr = 263.058589999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43392482-0.43397275) × cos(0.53316440) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.861203043655255 × 6371000     		do = 262.978709652908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43392482-0.43397275) × cos(0.53312311) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.861224029020807 × 6371000     		du = 262.985117786733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53316440)-sin(0.53312311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861203043655255-0.861224029020807)×R²
    abs(0.43397275-0.43392482)×2.09853655515069e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.09853655515069e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.09853655515069e-05×40589641000000     		ar = 69179.6514285033m²