Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74587 / 53992
↖ ↑ ↗
← N 30.202113°
E 24.859314°		 ← 263.97 m → N 30.202113°
E 24.862061°		 →
↑
263.95 m
↓
↑
263.95 m
↓
N 30.199740°
E 24.859314°		 ← 263.97 m →
69 675 m²		 N 30.199740°
E 24.862061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569057464599609 y=0.411930084228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569057464599609 × 217)
    floor (0.569057464599609 × 131072)
    floor (74587.5)     		tx = 74587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411930084228516 × 217)
    floor (0.411930084228516 × 131072)
    floor (53992.5)     		ty = 53992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74587 / 53992 ti = "17/74587/53992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74587/53992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74587 ÷ 217
    74587 ÷ 131072     		x = 0.569053649902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53992 ÷ 217
    53992 ÷ 131072     		y = 0.41192626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569053649902344 × 2 - 1) × π
    0.138107299804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.43387688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41192626953125 × 2 - 1) × π
    0.1761474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.553383569213928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43387688} λ = 0.43387688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.553383569213928))-π/2
    2×atan(1.73912753222702)-π/2
    2×1.04896132577155-π/2
    2.09792265154309-1.57079632675     		φ = 0.52712632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43387688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.859314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52712632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.202113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74587 KachelY 53992 0.43387688 0.52712632 24.859314 30.202113
    Oben rechts KachelX + 1 74588 KachelY 53992 0.43392482 0.52712632 24.862061 30.202113
    Unten links KachelX 74587 KachelY + 1 53993 0.43387688 0.52708489 24.859314 30.199740
    Unten rechts KachelX + 1 74588 KachelY + 1 53993 0.43392482 0.52708489 24.862061 30.199740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52712632-0.52708489) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dl = 263.950530000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52712632-0.52708489) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dr = 263.950530000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43387688-0.43392482) × cos(0.52712632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.864256247023457 × 6371000     		do = 263.966103796589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43387688-0.43392482) × cos(0.52708489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.864277087718872 × 6371000     		du = 263.972469081408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52712632)-sin(0.52708489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864256247023457-0.864277087718872)×R²
    abs(0.43392482-0.43387688)×2.08406954145257e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08406954145257e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08406954145257e-05×40589641000000     		ar = 69674.8330693781m²