Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74586 / 53993
↖ ↑ ↗
← N 30.199740°
E 24.856567°		 ← 263.97 m → N 30.199740°
E 24.859314°		 →
↑
263.95 m
↓
↑
263.95 m
↓
N 30.197366°
E 24.856567°		 ← 263.98 m →
69 677 m²		 N 30.197366°
E 24.859314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569049835205078 y=0.411937713623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569049835205078 × 217)
    floor (0.569049835205078 × 131072)
    floor (74586.5)     		tx = 74586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411937713623047 × 217)
    floor (0.411937713623047 × 131072)
    floor (53993.5)     		ty = 53993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74586 / 53993 ti = "17/74586/53993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74586/53993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74586 ÷ 217
    74586 ÷ 131072     		x = 0.569046020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53993 ÷ 217
    53993 ÷ 131072     		y = 0.411933898925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569046020507812 × 2 - 1) × π
    0.138092041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43382894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411933898925781 × 2 - 1) × π
    0.176132202148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.553335632314308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43382894} λ = 0.43382894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.553335632314308))-π/2
    2×atan(1.73904416584326)-π/2
    2×1.04894061063936-π/2
    2.09788122127872-1.57079632675     		φ = 0.52708489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43382894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.856567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52708489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.199740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74586 KachelY 53993 0.43382894 0.52708489 24.856567 30.199740
    Oben rechts KachelX + 1 74587 KachelY 53993 0.43387688 0.52708489 24.859314 30.199740
    Unten links KachelX 74586 KachelY + 1 53994 0.43382894 0.52704346 24.856567 30.197366
    Unten rechts KachelX + 1 74587 KachelY + 1 53994 0.43387688 0.52704346 24.859314 30.197366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52708489-0.52704346) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dl = 263.950530000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52708489-0.52704346) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dr = 263.950530000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43382894-0.43387688) × cos(0.52708489) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.864277087718872 × 6371000     		do = 263.972469081714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43382894-0.43387688) × cos(0.52704346) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.864297926930802 × 6371000     		du = 263.978833913439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52708489)-sin(0.52704346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864277087718872-0.864297926930802)×R²
    abs(0.43387688-0.43382894)×2.08392119305234e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08392119305234e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08392119305234e-05×40589641000000     		ar = 69676.513129886m²