Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74585 / 53849
↖ ↑ ↗
← N 30.540973°
E 24.853821°		 ← 263.05 m → N 30.540973°
E 24.856567°		 →
↑
262.99 m
↓
↑
262.99 m
↓
N 30.538608°
E 24.853821°		 ← 263.06 m →
69 182 m²		 N 30.538608°
E 24.856567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569042205810547 y=0.410839080810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569042205810547 × 217)
    floor (0.569042205810547 × 131072)
    floor (74585.5)     		tx = 74585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410839080810547 × 217)
    floor (0.410839080810547 × 131072)
    floor (53849.5)     		ty = 53849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74585 / 53849 ti = "17/74585/53849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74585/53849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74585 ÷ 217
    74585 ÷ 131072     		x = 0.569038391113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53849 ÷ 217
    53849 ÷ 131072     		y = 0.410835266113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569038391113281 × 2 - 1) × π
    0.138076782226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.43378100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410835266113281 × 2 - 1) × π
    0.178329467773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.560238545859596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43378100} λ = 0.43378100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.560238545859596))-π/2
    2×atan(1.75109016578676)-π/2
    2×1.05191843508334-π/2
    2.10383687016669-1.57079632675     		φ = 0.53304054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43378100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.853821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53304054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.540973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74585 KachelY 53849 0.43378100 0.53304054 24.853821 30.540973
    Oben rechts KachelX + 1 74586 KachelY 53849 0.43382894 0.53304054 24.856567 30.540973
    Unten links KachelX 74585 KachelY + 1 53850 0.43378100 0.53299926 24.853821 30.538608
    Unten rechts KachelX + 1 74586 KachelY + 1 53850 0.43382894 0.53299926 24.856567 30.538608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53304054-0.53299926) × R
    4.12800000000324e-05 × 6371000     		dl = 262.994880000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53304054-0.53299926) × R
    4.12800000000324e-05 × 6371000     		dr = 262.994880000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43378100-0.43382894) × cos(0.53304054) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.861265990265521 × 6371000     		do = 263.052802413507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43378100-0.43382894) × cos(0.53299926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.861286966145322 × 6371000     		du = 263.059208987117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53304054)-sin(0.53299926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861265990265521-0.861286966145322)×R²
    abs(0.43382894-0.43378100)×2.09758798016546e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09758798016546e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09758798016546e-05×40589641000000     		ar = 69182.3826621408m²