Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74584 / 78538
↖ ↑ ↗
← S 33.600894°
E 24.851074°		 ← 254.34 m → S 33.600894°
E 24.853821°		 →
↑
254.39 m
↓
↑
254.39 m
↓
S 33.603182°
E 24.851074°		 ← 254.33 m →
64 702 m²		 S 33.603182°
E 24.853821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569034576416016 y=0.599201202392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569034576416016 × 217)
    floor (0.569034576416016 × 131072)
    floor (74584.5)     		tx = 74584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599201202392578 × 217)
    floor (0.599201202392578 × 131072)
    floor (78538.5)     		ty = 78538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74584 / 78538 ti = "17/74584/78538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74584/78538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74584 ÷ 217
    74584 ÷ 131072     		x = 0.56903076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78538 ÷ 217
    78538 ÷ 131072     		y = 0.599197387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56903076171875 × 2 - 1) × π
    0.1380615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43373307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599197387695312 × 2 - 1) × π
    -0.198394775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.62327556885997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43373307} λ = 0.43373307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.62327556885997))-π/2
    2×atan(0.536185246295529)-π/2
    2×0.492175043886904-π/2
    0.984350087773808-1.57079632675     		φ = -0.58644624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43373307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.851074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58644624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.600894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74584 KachelY 78538 0.43373307 -0.58644624 24.851074 -33.600894
    Oben rechts KachelX + 1 74585 KachelY 78538 0.43378100 -0.58644624 24.853821 -33.600894
    Unten links KachelX 74584 KachelY + 1 78539 0.43373307 -0.58648617 24.851074 -33.603182
    Unten rechts KachelX + 1 74585 KachelY + 1 78539 0.43378100 -0.58648617 24.853821 -33.603182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58644624--0.58648617) × R
    3.99300000000213e-05 × 6371000     		dl = 254.394030000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58644624--0.58648617) × R
    3.99300000000213e-05 × 6371000     		dr = 254.394030000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43373307-0.43378100) × cos(-0.58644624) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.832912601430561 × 6371000     		do = 254.339882785573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43373307-0.43378100) × cos(-0.58648617) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.832890503322798 × 6371000     		du = 254.333134862527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58644624)-sin(-0.58648617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832912601430561-0.832890503322798)×R²
    abs(0.43378100-0.43373307)×2.20981077627691e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.20981077627691e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.20981077627691e-05×40589641000000     		ar = 64701.6894645926m²