Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74582 / 76486
↖ ↑ ↗
← S 28.782103°
E 24.845581°		 ← 267.69 m → S 28.782103°
E 24.848328°		 →
↑
267.71 m
↓
↑
267.71 m
↓
S 28.784511°
E 24.845581°		 ← 267.69 m →
71 663 m²		 S 28.784511°
E 24.848328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569019317626953 y=0.583545684814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569019317626953 × 217)
    floor (0.569019317626953 × 131072)
    floor (74582.5)     		tx = 74582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583545684814453 × 217)
    floor (0.583545684814453 × 131072)
    floor (76486.5)     		ty = 76486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74582 / 76486 ti = "17/74582/76486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74582/76486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74582 ÷ 217
    74582 ÷ 131072     		x = 0.569015502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76486 ÷ 217
    76486 ÷ 131072     		y = 0.583541870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569015502929688 × 2 - 1) × π
    0.138031005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43363719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583541870117188 × 2 - 1) × π
    -0.167083740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.524909050839615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43363719} λ = 0.43363719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524909050839615))-π/2
    2×atan(0.591609168277199)-π/2
    2×0.534226926024667-π/2
    1.06845385204933-1.57079632675     		φ = -0.50234247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43363719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.845581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50234247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.782103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74582 KachelY 76486 0.43363719 -0.50234247 24.845581 -28.782103
    Oben rechts KachelX + 1 74583 KachelY 76486 0.43368513 -0.50234247 24.848328 -28.782103
    Unten links KachelX 74582 KachelY + 1 76487 0.43363719 -0.50238449 24.845581 -28.784511
    Unten rechts KachelX + 1 74583 KachelY + 1 76487 0.43368513 -0.50238449 24.848328 -28.784511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50234247--0.50238449) × R
    4.2019999999976e-05 × 6371000     		dl = 267.709419999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50234247--0.50238449) × R
    4.2019999999976e-05 × 6371000     		dr = 267.709419999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43363719-0.43368513) × cos(-0.50234247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876457115256644 × 6371000     		do = 267.69256300535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43363719-0.43368513) × cos(-0.50238449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876436882696127 × 6371000     		du = 267.686383460582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50234247)-sin(-0.50238449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876457115256644-0.876436882696127)×R²
    abs(0.43368513-0.43363719)×2.02325605168641e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02325605168641e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02325605168641e-05×40589641000000     		ar = 71662.993629862m²