Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74582 / 53203
↖ ↑ ↗
← N 32.056973°
E 24.845581°		 ← 258.85 m → N 32.056973°
E 24.848328°		 →
↑
258.85 m
↓
↑
258.85 m
↓
N 32.054645°
E 24.845581°		 ← 258.86 m →
67 006 m²		 N 32.054645°
E 24.848328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569019317626953 y=0.405910491943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569019317626953 × 217)
    floor (0.569019317626953 × 131072)
    floor (74582.5)     		tx = 74582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405910491943359 × 217)
    floor (0.405910491943359 × 131072)
    floor (53203.5)     		ty = 53203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74582 / 53203 ti = "17/74582/53203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74582/53203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74582 ÷ 217
    74582 ÷ 131072     		x = 0.569015502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53203 ÷ 217
    53203 ÷ 131072     		y = 0.405906677246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569015502929688 × 2 - 1) × π
    0.138031005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43363719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405906677246094 × 2 - 1) × π
    0.188186645507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.591205783014152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43363719} λ = 0.43363719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.591205783014152))-π/2
    2×atan(1.80616494593494)-π/2
    2×1.06514802261071-π/2
    2.13029604522142-1.57079632675     		φ = 0.55949972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43363719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.845581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55949972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.056973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74582 KachelY 53203 0.43363719 0.55949972 24.845581 32.056973
    Oben rechts KachelX + 1 74583 KachelY 53203 0.43368513 0.55949972 24.848328 32.056973
    Unten links KachelX 74582 KachelY + 1 53204 0.43363719 0.55945909 24.845581 32.054645
    Unten rechts KachelX + 1 74583 KachelY + 1 53204 0.43368513 0.55945909 24.848328 32.054645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55949972-0.55945909) × R
    4.0629999999986e-05 × 6371000     		dl = 258.853729999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55949972-0.55945909) × R
    4.0629999999986e-05 × 6371000     		dr = 258.853729999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43363719-0.43368513) × cos(0.55949972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.847520746807891 × 6371000     		do = 258.854651258983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43363719-0.43368513) × cos(0.55945909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.847542310979238 × 6371000     		du = 258.861237511974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55949972)-sin(0.55945909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847520746807891-0.847542310979238)×R²
    abs(0.43368513-0.43363719)×2.15641713469106e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15641713469106e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15641713469106e-05×40589641000000     		ar = 67006.3444534522m²