Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74581 / 53204
↖ ↑ ↗
← N 32.054645°
E 24.842835°		 ← 258.81 m → N 32.054645°
E 24.845581°		 →
↑
258.85 m
↓
↑
258.85 m
↓
N 32.052317°
E 24.842835°		 ← 258.81 m →
66 994 m²		 N 32.052317°
E 24.845581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569011688232422 y=0.405918121337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569011688232422 × 217)
    floor (0.569011688232422 × 131072)
    floor (74581.5)     		tx = 74581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405918121337891 × 217)
    floor (0.405918121337891 × 131072)
    floor (53204.5)     		ty = 53204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74581 / 53204 ti = "17/74581/53204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74581/53204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74581 ÷ 217
    74581 ÷ 131072     		x = 0.569007873535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53204 ÷ 217
    53204 ÷ 131072     		y = 0.405914306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569007873535156 × 2 - 1) × π
    0.138015747070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.43358926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405914306640625 × 2 - 1) × π
    0.18817138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.591157846114532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43358926} λ = 0.43358926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.591157846114532))-π/2
    2×atan(1.80607836606243)-π/2
    2×1.06512770859379-π/2
    2.13025541718758-1.57079632675     		φ = 0.55945909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43358926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.842835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55945909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.054645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74581 KachelY 53204 0.43358926 0.55945909 24.842835 32.054645
    Oben rechts KachelX + 1 74582 KachelY 53204 0.43363719 0.55945909 24.845581 32.054645
    Unten links KachelX 74581 KachelY + 1 53205 0.43358926 0.55941846 24.842835 32.052317
    Unten rechts KachelX + 1 74582 KachelY + 1 53205 0.43363719 0.55941846 24.845581 32.052317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55945909-0.55941846) × R
    4.0630000000097e-05 × 6371000     		dl = 258.853730000618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55945909-0.55941846) × R
    4.0630000000097e-05 × 6371000     		dr = 258.853730000618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43358926-0.43363719) × cos(0.55945909) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.847542310979238 × 6371000     		do = 258.80724059167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43358926-0.43363719) × cos(0.55941846) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.847563873751465 × 6371000     		du = 258.81382504357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55945909)-sin(0.55941846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847542310979238-0.847563873751465)×R²
    abs(0.43363719-0.43358926)×2.15627722267575e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.15627722267575e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.15627722267575e-05×40589641000000     		ar = 66994.0717924448m²