Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74580 / 53205
↖ ↑ ↗
← N 32.052317°
E 24.840088°		 ← 258.87 m → N 32.052317°
E 24.842835°		 →
↑
258.85 m
↓
↑
258.85 m
↓
N 32.049989°
E 24.840088°		 ← 258.87 m →
67 010 m²		 N 32.049989°
E 24.842835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569004058837891 y=0.405925750732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569004058837891 × 217)
    floor (0.569004058837891 × 131072)
    floor (74580.5)     		tx = 74580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405925750732422 × 217)
    floor (0.405925750732422 × 131072)
    floor (53205.5)     		ty = 53205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74580 / 53205 ti = "17/74580/53205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74580/53205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74580 ÷ 217
    74580 ÷ 131072     		x = 0.569000244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53205 ÷ 217
    53205 ÷ 131072     		y = 0.405921936035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569000244140625 × 2 - 1) × π
    0.13800048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43354132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405921936035156 × 2 - 1) × π
    0.188156127929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.591109909214912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43354132} λ = 0.43354132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.591109909214912))-π/2
    2×atan(1.80599179034019)-π/2
    2×1.06510739406004-π/2
    2.13021478812009-1.57079632675     		φ = 0.55941846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43354132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.840088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55941846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.052317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74580 KachelY 53205 0.43354132 0.55941846 24.840088 32.052317
    Oben rechts KachelX + 1 74581 KachelY 53205 0.43358926 0.55941846 24.842835 32.052317
    Unten links KachelX 74580 KachelY + 1 53206 0.43354132 0.55937783 24.840088 32.049989
    Unten rechts KachelX + 1 74581 KachelY + 1 53206 0.43358926 0.55937783 24.842835 32.049989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55941846-0.55937783) × R
    4.0629999999986e-05 × 6371000     		dl = 258.853729999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55941846-0.55937783) × R
    4.0629999999986e-05 × 6371000     		dr = 258.853729999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43354132-0.43358926) × cos(0.55941846) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.847563873751465 × 6371000     		do = 258.867823337638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43354132-0.43358926) × cos(0.55937783) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.847585435124536 × 6371000     		du = 258.874408735964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55941846)-sin(0.55937783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847563873751465-0.847585435124536)×R²
    abs(0.43358926-0.43354132)×2.15613730709663e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15613730709663e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15613730709663e-05×40589641000000     		ar = 67009.753984678m²