Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7458 / 7330
↖ ↑ ↗
← S 80.430330°
E147.744140°		 ← 812.36 m → S 80.430330°
E147.788086°		 →
↑
812.05 m
↓
↑
812.05 m
↓
S 80.437633°
E147.744140°		 ← 811.75 m →
659 429 m²		 S 80.437633°
E147.788086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91046142578125 y=0.89483642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91046142578125 × 213)
    floor (0.91046142578125 × 8192)
    floor (7458.5)     		tx = 7458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89483642578125 × 213)
    floor (0.89483642578125 × 8192)
    floor (7330.5)     		ty = 7330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7458 / 7330 ti = "13/7458/7330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7458/7330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7458 ÷ 213
    7458 ÷ 8192     		x = 0.910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7330 ÷ 213
    7330 ÷ 8192     		y = 0.894775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910400390625 × 2 - 1) × π
    0.82080078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57862170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894775390625 × 2 - 1) × π
    -0.78955078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.48044693394019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57862170} λ = 2.57862170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48044693394019))-π/2
    2×atan(0.0837058062650247)-π/2
    2×0.0835111246223517-π/2
    0.167022249244703-1.57079632675     		φ = -1.40377408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57862170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.744140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40377408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.430330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7458 KachelY 7330 2.57862170 -1.40377408 147.744140 -80.430330
    Oben rechts KachelX + 1 7459 KachelY 7330 2.57938869 -1.40377408 147.788086 -80.430330
    Unten links KachelX 7458 KachelY + 1 7331 2.57862170 -1.40390154 147.744140 -80.437633
    Unten rechts KachelX + 1 7459 KachelY + 1 7331 2.57938869 -1.40390154 147.788086 -80.437633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40377408--1.40390154) × R
    0.000127459999999857 × 6371000     		dl = 812.04765999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40377408--1.40390154) × R
    0.000127459999999857 × 6371000     		dr = 812.04765999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57862170-2.57938869) × cos(-1.40377408) × R
    0.000766990000000245 × 0.166246775135035 × 6371000     		do = 812.363751181745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57862170-2.57938869) × cos(-1.40390154) × R
    0.000766990000000245 × 0.166121087495384 × 6371000     		du = 811.749579373956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40377408)-sin(-1.40390154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166246775135035-0.166121087495384)×R²
    abs(2.57938869-2.57862170)×0.000125687639650512×R²
    0.000766990000000245×0.000125687639650512×6371000²
    0.000766990000000245×0.000125687639650512×40589641000000     		ar = 659428.715718104m²