Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 7458 / 5499
↖ ↑ ↗
← N 75.858596°
W 98.063965°		 ← 298.45 m → N 75.858596°
W 98.052979°		 →
↑
298.48 m
↓
↑
298.48 m
↓
N 75.855911°
W 98.063965°		 ← 298.51 m →
89 090 m²		 N 75.855911°
W 98.052979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227615356445312 y=0.167831420898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227615356445312 × 215)
    floor (0.227615356445312 × 32768)
    floor (7458.5)     		tx = 7458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167831420898438 × 215)
    floor (0.167831420898438 × 32768)
    floor (5499.5)     		ty = 5499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7458 / 5499 ti = "15/7458/5499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7458/5499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7458 ÷ 215
    7458 ÷ 32768     		x = 0.22760009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5499 ÷ 215
    5499 ÷ 32768     		y = 0.167816162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.5447998046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71153906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167816162109375 × 2 - 1) × π
    0.66436767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.08717260945724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71153906} λ = -1.71153906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08717260945724))-π/2
    2×atan(8.06208823715629)-π/2
    2×1.44738929165629-π/2
    2.89477858331257-1.57079632675     		φ = 1.32398226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71153906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.063965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32398226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.858596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7458 KachelY 5499 -1.71153906 1.32398226 -98.063965 75.858596
    Oben rechts KachelX + 1 7459 KachelY 5499 -1.71134732 1.32398226 -98.052979 75.858596
    Unten links KachelX 7458 KachelY + 1 5500 -1.71153906 1.32393541 -98.063965 75.855911
    Unten rechts KachelX + 1 7459 KachelY + 1 5500 -1.71134732 1.32393541 -98.052979 75.855911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32398226-1.32393541) × R
    4.68499999999317e-05 × 6371000     		dl = 298.481349999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32398226-1.32393541) × R
    4.68499999999317e-05 × 6371000     		dr = 298.481349999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71153906--1.71134732) × cos(1.32398226) × R
    0.000191739999999996 × 0.244315818624324 × 6371000     		do = 298.450228066544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71153906--1.71134732) × cos(1.32393541) × R
    0.000191739999999996 × 0.244361248600454 × 6371000     		du = 298.505724214167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32398226)-sin(1.32393541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244315818624324-0.244361248600454)×R²
    abs(-1.71134732--1.71153906)×4.54299761300236e-05×R²
    0.000191739999999996×4.54299761300236e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.54299761300236e-05×40589641000000     		ar = 89090.1092794981m²