Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74579 / 53393
↖ ↑ ↗
← N 31.613627°
E 24.837341°		 ← 260.10 m → N 31.613627°
E 24.840088°		 →
↑
260.06 m
↓
↑
260.06 m
↓
N 31.611288°
E 24.837341°		 ← 260.11 m →
67 644 m²		 N 31.611288°
E 24.840088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568996429443359 y=0.407360076904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568996429443359 × 217)
    floor (0.568996429443359 × 131072)
    floor (74579.5)     		tx = 74579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407360076904297 × 217)
    floor (0.407360076904297 × 131072)
    floor (53393.5)     		ty = 53393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74579 / 53393 ti = "17/74579/53393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74579/53393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74579 ÷ 217
    74579 ÷ 131072     		x = 0.568992614746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53393 ÷ 217
    53393 ÷ 131072     		y = 0.407356262207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568992614746094 × 2 - 1) × π
    0.137985229492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.43349338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407356262207031 × 2 - 1) × π
    0.185287475585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.582097772086342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43349338} λ = 0.43349338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.582097772086342))-π/2
    2×atan(1.78978906492764)-π/2
    2×1.06127910295507-π/2
    2.12255820591014-1.57079632675     		φ = 0.55176188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43349338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.837341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55176188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.613627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74579 KachelY 53393 0.43349338 0.55176188 24.837341 31.613627
    Oben rechts KachelX + 1 74580 KachelY 53393 0.43354132 0.55176188 24.840088 31.613627
    Unten links KachelX 74579 KachelY + 1 53394 0.43349338 0.55172106 24.837341 31.611288
    Unten rechts KachelX + 1 74580 KachelY + 1 53394 0.43354132 0.55172106 24.840088 31.611288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55176188-0.55172106) × R
    4.08200000000525e-05 × 6371000     		dl = 260.064220000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55176188-0.55172106) × R
    4.08200000000525e-05 × 6371000     		dr = 260.064220000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43349338-0.43354132) × cos(0.55176188) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.851602287149073 × 6371000     		do = 260.101258738329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43349338-0.43354132) × cos(0.55172106) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.851623683812617 × 6371000     		du = 260.107793830125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55176188)-sin(0.55172106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851602287149073-0.851623683812617)×R²
    abs(0.43354132-0.43349338)×2.1396663544504e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1396663544504e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1396663544504e-05×40589641000000     		ar = 67643.880756187m²