Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74579 / 53206
↖ ↑ ↗
← N 32.049989°
E 24.837341°		 ← 258.87 m → N 32.049989°
E 24.840088°		 →
↑
258.85 m
↓
↑
258.85 m
↓
N 32.047661°
E 24.837341°		 ← 258.88 m →
67 011 m²		 N 32.047661°
E 24.840088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568996429443359 y=0.405933380126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568996429443359 × 217)
    floor (0.568996429443359 × 131072)
    floor (74579.5)     		tx = 74579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405933380126953 × 217)
    floor (0.405933380126953 × 131072)
    floor (53206.5)     		ty = 53206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74579 / 53206 ti = "17/74579/53206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74579/53206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74579 ÷ 217
    74579 ÷ 131072     		x = 0.568992614746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53206 ÷ 217
    53206 ÷ 131072     		y = 0.405929565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568992614746094 × 2 - 1) × π
    0.137985229492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.43349338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405929565429688 × 2 - 1) × π
    0.188140869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.591061972315292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43349338} λ = 0.43349338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.591061972315292))-π/2
    2×atan(1.80590521876803)-π/2
    2×1.06508707900949-π/2
    2.13017415801899-1.57079632675     		φ = 0.55937783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43349338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.837341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55937783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.049989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74579 KachelY 53206 0.43349338 0.55937783 24.837341 32.049989
    Oben rechts KachelX + 1 74580 KachelY 53206 0.43354132 0.55937783 24.840088 32.049989
    Unten links KachelX 74579 KachelY + 1 53207 0.43349338 0.55933720 24.837341 32.047661
    Unten rechts KachelX + 1 74580 KachelY + 1 53207 0.43354132 0.55933720 24.840088 32.047661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55937783-0.55933720) × R
    4.0629999999986e-05 × 6371000     		dl = 258.853729999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55937783-0.55933720) × R
    4.0629999999986e-05 × 6371000     		dr = 258.853729999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43349338-0.43354132) × cos(0.55937783) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.847585435124536 × 6371000     		do = 258.874408736263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43349338-0.43354132) × cos(0.55933720) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.847606995098415 × 6371000     		du = 258.88099370724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55937783)-sin(0.55933720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847585435124536-0.847606995098415)×R²
    abs(0.43354132-0.43349338)×2.15599738794259e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15599738794259e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15599738794259e-05×40589641000000     		ar = 67011.4585843458m²