Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74578 / 56141
↖ ↑ ↗
← N 24.973610°
E 24.834595°		 ← 276.81 m → N 24.973610°
E 24.837341°		 →
↑
276.88 m
↓
↑
276.88 m
↓
N 24.971120°
E 24.834595°		 ← 276.82 m →
76 645 m²		 N 24.971120°
E 24.837341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568988800048828 y=0.428325653076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568988800048828 × 217)
    floor (0.568988800048828 × 131072)
    floor (74578.5)     		tx = 74578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428325653076172 × 217)
    floor (0.428325653076172 × 131072)
    floor (56141.5)     		ty = 56141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74578 / 56141 ti = "17/74578/56141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74578/56141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74578 ÷ 217
    74578 ÷ 131072     		x = 0.568984985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56141 ÷ 217
    56141 ÷ 131072     		y = 0.428321838378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568984985351562 × 2 - 1) × π
    0.137969970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43344545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428321838378906 × 2 - 1) × π
    0.143356323242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.450367171930428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43344545} λ = 0.43344545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450367171930428))-π/2
    2×atan(1.56888813143195)-π/2
    2×1.00333402139081-π/2
    2.00666804278161-1.57079632675     		φ = 0.43587172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43344545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.834595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43587172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.973610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74578 KachelY 56141 0.43344545 0.43587172 24.834595 24.973610
    Oben rechts KachelX + 1 74579 KachelY 56141 0.43349338 0.43587172 24.837341 24.973610
    Unten links KachelX 74578 KachelY + 1 56142 0.43344545 0.43582826 24.834595 24.971120
    Unten rechts KachelX + 1 74579 KachelY + 1 56142 0.43349338 0.43582826 24.837341 24.971120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43587172-0.43582826) × R
    4.34599999999952e-05 × 6371000     		dl = 276.883659999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43587172-0.43582826) × R
    4.34599999999952e-05 × 6371000     		dr = 276.883659999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43344545-0.43349338) × cos(0.43587172) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.906502345907455 × 6371000     		do = 276.811396545911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43344545-0.43349338) × cos(0.43582826) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.906520693897169 × 6371000     		du = 276.816999325297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43587172)-sin(0.43582826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906502345907455-0.906520693897169)×R²
    abs(0.43349338-0.43344545)×1.83479897140071e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.83479897140071e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.83479897140071e-05×40589641000000     		ar = 76645.3282763957m²