Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74577 / 56275
↖ ↑ ↗
← N 24.639528°
E 24.831848°		 ← 277.62 m → N 24.639528°
E 24.834595°		 →
↑
277.58 m
↓
↑
277.58 m
↓
N 24.637032°
E 24.831848°		 ← 277.62 m →
77 063 m²		 N 24.637032°
E 24.834595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568981170654297 y=0.429347991943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568981170654297 × 217)
    floor (0.568981170654297 × 131072)
    floor (74577.5)     		tx = 74577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429347991943359 × 217)
    floor (0.429347991943359 × 131072)
    floor (56275.5)     		ty = 56275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74577 / 56275 ti = "17/74577/56275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74577/56275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74577 ÷ 217
    74577 ÷ 131072     		x = 0.568977355957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56275 ÷ 217
    56275 ÷ 131072     		y = 0.429344177246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568977355957031 × 2 - 1) × π
    0.137954711914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.43339751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429344177246094 × 2 - 1) × π
    0.141311645507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.44394362738134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43339751} λ = 0.43339751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.44394362738134))-π/2
    2×atan(1.55884260710513)-π/2
    2×1.00041860721868-π/2
    2.00083721443736-1.57079632675     		φ = 0.43004089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43339751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.831848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43004089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.639528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74577 KachelY 56275 0.43339751 0.43004089 24.831848 24.639528
    Oben rechts KachelX + 1 74578 KachelY 56275 0.43344545 0.43004089 24.834595 24.639528
    Unten links KachelX 74577 KachelY + 1 56276 0.43339751 0.42999732 24.831848 24.637032
    Unten rechts KachelX + 1 74578 KachelY + 1 56276 0.43344545 0.42999732 24.834595 24.637032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43004089-0.42999732) × R
    4.35699999999928e-05 × 6371000     		dl = 277.584469999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43004089-0.42999732) × R
    4.35699999999928e-05 × 6371000     		dr = 277.584469999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43339751-0.43344545) × cos(0.43004089) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.908948703067887 × 6371000     		do = 277.616330256689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43339751-0.43344545) × cos(0.42999732) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.908966866885371 × 6371000     		du = 277.621877954085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43004089)-sin(0.42999732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908948703067887-0.908966866885371)×R²
    abs(0.43344545-0.43339751)×1.816381748454e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.816381748454e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.816381748454e-05×40589641000000     		ar = 77062.7518871413m²