Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74577 / 56137
↖ ↑ ↗
← N 24.983569°
E 24.831848°		 ← 276.85 m → N 24.983569°
E 24.834595°		 →
↑
276.82 m
↓
↑
276.82 m
↓
N 24.981079°
E 24.831848°		 ← 276.85 m →
76 637 m²		 N 24.981079°
E 24.834595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568981170654297 y=0.428295135498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568981170654297 × 217)
    floor (0.568981170654297 × 131072)
    floor (74577.5)     		tx = 74577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428295135498047 × 217)
    floor (0.428295135498047 × 131072)
    floor (56137.5)     		ty = 56137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74577 / 56137 ti = "17/74577/56137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74577/56137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74577 ÷ 217
    74577 ÷ 131072     		x = 0.568977355957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56137 ÷ 217
    56137 ÷ 131072     		y = 0.428291320800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568977355957031 × 2 - 1) × π
    0.137954711914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.43339751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428291320800781 × 2 - 1) × π
    0.143417358398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.450558919528908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43339751} λ = 0.43339751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450558919528908))-π/2
    2×atan(1.56918899080705)-π/2
    2×1.00342092769661-π/2
    2.00684185539322-1.57079632675     		φ = 0.43604553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43339751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.831848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43604553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.983569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74577 KachelY 56137 0.43339751 0.43604553 24.831848 24.983569
    Oben rechts KachelX + 1 74578 KachelY 56137 0.43344545 0.43604553 24.834595 24.983569
    Unten links KachelX 74577 KachelY + 1 56138 0.43339751 0.43600208 24.831848 24.981079
    Unten rechts KachelX + 1 74578 KachelY + 1 56138 0.43344545 0.43600208 24.834595 24.981079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43604553-0.43600208) × R
    4.34500000000004e-05 × 6371000     		dl = 276.819950000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43604553-0.43600208) × R
    4.34500000000004e-05 × 6371000     		dr = 276.819950000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43339751-0.43344545) × cos(0.43604553) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.906428949497937 × 6371000     		do = 276.846732657969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43339751-0.43344545) × cos(0.43600208) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.906447300111775 × 6371000     		du = 276.85233740778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43604553)-sin(0.43600208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906428949497937-0.906447300111775)×R²
    abs(0.43344545-0.43339751)×1.83506138383693e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.83506138383693e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.83506138383693e-05×40589641000000     		ar = 76637.4744574057m²