Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74577 / 54581
↖ ↑ ↗
← N 28.794140°
E 24.831848°		 ← 267.66 m → N 28.794140°
E 24.834595°		 →
↑
267.65 m
↓
↑
267.65 m
↓
N 28.791733°
E 24.831848°		 ← 267.67 m →
71 639 m²		 N 28.791733°
E 24.834595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568981170654297 y=0.416423797607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568981170654297 × 217)
    floor (0.568981170654297 × 131072)
    floor (74577.5)     		tx = 74577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416423797607422 × 217)
    floor (0.416423797607422 × 131072)
    floor (54581.5)     		ty = 54581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74577 / 54581 ti = "17/74577/54581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74577/54581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74577 ÷ 217
    74577 ÷ 131072     		x = 0.568977355957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54581 ÷ 217
    54581 ÷ 131072     		y = 0.416419982910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568977355957031 × 2 - 1) × π
    0.137954711914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.43339751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416419982910156 × 2 - 1) × π
    0.167160034179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.525148735337715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43339751} λ = 0.43339751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.525148735337715))-π/2
    2×atan(1.69071029804606)-π/2
    2×1.03667443130052-π/2
    2.07334886260104-1.57079632675     		φ = 0.50255254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43339751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.831848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50255254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.794140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74577 KachelY 54581 0.43339751 0.50255254 24.831848 28.794140
    Oben rechts KachelX + 1 74578 KachelY 54581 0.43344545 0.50255254 24.834595 28.794140
    Unten links KachelX 74577 KachelY + 1 54582 0.43339751 0.50251053 24.831848 28.791733
    Unten rechts KachelX + 1 74578 KachelY + 1 54582 0.43344545 0.50251053 24.834595 28.791733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50255254-0.50251053) × R
    4.20100000000367e-05 × 6371000     		dl = 267.645710000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50255254-0.50251053) × R
    4.20100000000367e-05 × 6371000     		dr = 267.645710000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43339751-0.43344545) × cos(0.50255254) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876355951429264 × 6371000     		do = 267.661664968821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43339751-0.43344545) × cos(0.50251053) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876376185362219 × 6371000     		du = 267.667844932767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50255254)-sin(0.50251053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876355951429264-0.876376185362219)×R²
    abs(0.43344545-0.43339751)×2.02339329552492e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02339329552492e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02339329552492e-05×40589641000000     		ar = 71639.3233914477m²