Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74577 / 53843
↖ ↑ ↗
← N 30.555165°
E 24.831848°		 ← 263.01 m → N 30.555165°
E 24.834595°		 →
↑
262.99 m
↓
↑
262.99 m
↓
N 30.552800°
E 24.831848°		 ← 263.02 m →
69 172 m²		 N 30.552800°
E 24.834595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568981170654297 y=0.410793304443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568981170654297 × 217)
    floor (0.568981170654297 × 131072)
    floor (74577.5)     		tx = 74577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410793304443359 × 217)
    floor (0.410793304443359 × 131072)
    floor (53843.5)     		ty = 53843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74577 / 53843 ti = "17/74577/53843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74577/53843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74577 ÷ 217
    74577 ÷ 131072     		x = 0.568977355957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53843 ÷ 217
    53843 ÷ 131072     		y = 0.410789489746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568977355957031 × 2 - 1) × π
    0.137954711914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.43339751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410789489746094 × 2 - 1) × π
    0.178421020507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.560526167257317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43339751} λ = 0.43339751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.560526167257317))-π/2
    2×atan(1.75159388922513)-π/2
    2×1.05204228529484-π/2
    2.10408457058969-1.57079632675     		φ = 0.53328824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43339751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.831848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53328824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.555165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74577 KachelY 53843 0.43339751 0.53328824 24.831848 30.555165
    Oben rechts KachelX + 1 74578 KachelY 53843 0.43344545 0.53328824 24.834595 30.555165
    Unten links KachelX 74577 KachelY + 1 53844 0.43339751 0.53324696 24.831848 30.552800
    Unten rechts KachelX + 1 74578 KachelY + 1 53844 0.43344545 0.53324696 24.834595 30.552800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53328824-0.53324696) × R
    4.12799999999214e-05 × 6371000     		dl = 262.994879999499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53328824-0.53324696) × R
    4.12799999999214e-05 × 6371000     		dr = 262.994879999499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43339751-0.43344545) × cos(0.53328824) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.861140094000371 × 6371000     		do = 263.014350453865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43339751-0.43344545) × cos(0.53324696) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.861161078686129 × 6371000     		du = 263.020759717041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53328824)-sin(0.53324696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861140094000371-0.861161078686129)×R²
    abs(0.43344545-0.43339751)×2.09846857582852e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09846857582852e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09846857582852e-05×40589641000000     		ar = 69172.2703472647m²