Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74575 / 53392
↖ ↑ ↗
← N 31.615966°
E 24.826355°		 ← 260.04 m → N 31.615966°
E 24.829101°		 →
↑
260.06 m
↓
↑
260.06 m
↓
N 31.613627°
E 24.826355°		 ← 260.05 m →
67 628 m²		 N 31.613627°
E 24.829101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568965911865234 y=0.407352447509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568965911865234 × 217)
    floor (0.568965911865234 × 131072)
    floor (74575.5)     		tx = 74575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407352447509766 × 217)
    floor (0.407352447509766 × 131072)
    floor (53392.5)     		ty = 53392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74575 / 53392 ti = "17/74575/53392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74575/53392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74575 ÷ 217
    74575 ÷ 131072     		x = 0.568962097167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53392 ÷ 217
    53392 ÷ 131072     		y = 0.4073486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568962097167969 × 2 - 1) × π
    0.137924194335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.43330164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4073486328125 × 2 - 1) × π
    0.185302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.582145708985962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43330164} λ = 0.43330164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.582145708985962))-π/2
    2×atan(1.78987486392284)-π/2
    2×1.0612995142853-π/2
    2.12259902857061-1.57079632675     		φ = 0.55180270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43330164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.826355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55180270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.615966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74575 KachelY 53392 0.43330164 0.55180270 24.826355 31.615966
    Oben rechts KachelX + 1 74576 KachelY 53392 0.43334957 0.55180270 24.829101 31.615966
    Unten links KachelX 74575 KachelY + 1 53393 0.43330164 0.55176188 24.826355 31.613627
    Unten rechts KachelX + 1 74576 KachelY + 1 53393 0.43334957 0.55176188 24.829101 31.613627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55180270-0.55176188) × R
    4.08199999999415e-05 × 6371000     		dl = 260.064219999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55180270-0.55176188) × R
    4.08199999999415e-05 × 6371000     		dr = 260.064219999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43330164-0.43334957) × cos(0.55180270) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.851580889066527 × 6371000     		do = 260.040468994719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43330164-0.43334957) × cos(0.55176188) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.851602287149073 × 6371000     		du = 260.047003156643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55180270)-sin(0.55176188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851580889066527-0.851602287149073)×R²
    abs(0.43334957-0.43330164)×2.13980825457538e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.13980825457538e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.13980825457538e-05×40589641000000     		ar = 67628.0713975907m²