Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74574 / 54582
↖ ↑ ↗
← N 28.791733°
E 24.823608°		 ← 267.67 m → N 28.791733°
E 24.826355°		 →
↑
267.71 m
↓
↑
267.71 m
↓
N 28.789325°
E 24.823608°		 ← 267.67 m →
71 658 m²		 N 28.789325°
E 24.826355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568958282470703 y=0.416431427001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568958282470703 × 217)
    floor (0.568958282470703 × 131072)
    floor (74574.5)     		tx = 74574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416431427001953 × 217)
    floor (0.416431427001953 × 131072)
    floor (54582.5)     		ty = 54582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74574 / 54582 ti = "17/74574/54582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74574/54582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74574 ÷ 217
    74574 ÷ 131072     		x = 0.568954467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54582 ÷ 217
    54582 ÷ 131072     		y = 0.416427612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568954467773438 × 2 - 1) × π
    0.137908935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43325370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416427612304688 × 2 - 1) × π
    0.167144775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.525100798438095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43325370} λ = 0.43325370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.525100798438095))-π/2
    2×atan(1.69062925257877)-π/2
    2×1.03665342616434-π/2
    2.07330685232869-1.57079632675     		φ = 0.50251053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43325370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.823608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50251053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.791733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74574 KachelY 54582 0.43325370 0.50251053 24.823608 28.791733
    Oben rechts KachelX + 1 74575 KachelY 54582 0.43330164 0.50251053 24.826355 28.791733
    Unten links KachelX 74574 KachelY + 1 54583 0.43325370 0.50246851 24.823608 28.789325
    Unten rechts KachelX + 1 74575 KachelY + 1 54583 0.43330164 0.50246851 24.826355 28.789325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50251053-0.50246851) × R
    4.2019999999976e-05 × 6371000     		dl = 267.709419999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50251053-0.50246851) × R
    4.2019999999976e-05 × 6371000     		dr = 267.709419999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43325370-0.43330164) × cos(0.50251053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876376185362219 × 6371000     		do = 267.667844932457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43325370-0.43330164) × cos(0.50246851) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876396422564415 × 6371000     		du = 267.674025894913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50251053)-sin(0.50246851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876376185362219-0.876396422564415)×R²
    abs(0.43330164-0.43325370)×2.02372021954611e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02372021954611e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02372021954611e-05×40589641000000     		ar = 71658.0308809178m²