Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74573 / 56139
↖ ↑ ↗
← N 24.978589°
E 24.820862°		 ← 276.86 m → N 24.978589°
E 24.823608°		 →
↑
276.82 m
↓
↑
276.82 m
↓
N 24.976099°
E 24.820862°		 ← 276.86 m →
76 641 m²		 N 24.976099°
E 24.823608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568950653076172 y=0.428310394287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568950653076172 × 217)
    floor (0.568950653076172 × 131072)
    floor (74573.5)     		tx = 74573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428310394287109 × 217)
    floor (0.428310394287109 × 131072)
    floor (56139.5)     		ty = 56139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74573 / 56139 ti = "17/74573/56139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74573/56139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74573 ÷ 217
    74573 ÷ 131072     		x = 0.568946838378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56139 ÷ 217
    56139 ÷ 131072     		y = 0.428306579589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568946838378906 × 2 - 1) × π
    0.137893676757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.43320576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428306579589844 × 2 - 1) × π
    0.143386840820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.450463045729668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43320576} λ = 0.43320576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450463045729668))-π/2
    2×atan(1.56903855390836)-π/2
    2×1.00337747542332-π/2
    2.00675495084664-1.57079632675     		φ = 0.43595862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43320576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.820862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43595862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.978589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74573 KachelY 56139 0.43320576 0.43595862 24.820862 24.978589
    Oben rechts KachelX + 1 74574 KachelY 56139 0.43325370 0.43595862 24.823608 24.978589
    Unten links KachelX 74573 KachelY + 1 56140 0.43320576 0.43591517 24.820862 24.976099
    Unten rechts KachelX + 1 74574 KachelY + 1 56140 0.43325370 0.43591517 24.823608 24.976099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43595862-0.43591517) × R
    4.34500000000004e-05 × 6371000     		dl = 276.819950000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43595862-0.43591517) × R
    4.34500000000004e-05 × 6371000     		dr = 276.819950000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43320576-0.43325370) × cos(0.43595862) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.906465653237125 × 6371000     		do = 276.857942924671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43320576-0.43325370) × cos(0.43591517) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.906484000427966 × 6371000     		du = 276.863546629011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43595862)-sin(0.43591517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906465653237125-0.906484000427966)×R²
    abs(0.43325370-0.43320576)×1.83471908417054e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.83471908417054e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.83471908417054e-05×40589641000000     		ar = 76640.577538148m²