Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74573 / 54613
↖ ↑ ↗
← N 28.717088°
E 24.820862°		 ← 267.86 m → N 28.717088°
E 24.823608°		 →
↑
267.84 m
↓
↑
267.84 m
↓
N 28.714679°
E 24.820862°		 ← 267.87 m →
71 743 m²		 N 28.714679°
E 24.823608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568950653076172 y=0.416667938232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568950653076172 × 217)
    floor (0.568950653076172 × 131072)
    floor (74573.5)     		tx = 74573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416667938232422 × 217)
    floor (0.416667938232422 × 131072)
    floor (54613.5)     		ty = 54613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74573 / 54613 ti = "17/74573/54613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74573/54613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74573 ÷ 217
    74573 ÷ 131072     		x = 0.568946838378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54613 ÷ 217
    54613 ÷ 131072     		y = 0.416664123535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568946838378906 × 2 - 1) × π
    0.137893676757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.43320576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416664123535156 × 2 - 1) × π
    0.166671752929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.523614754549873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43320576} λ = 0.43320576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523614754549873))-π/2
    2×atan(1.68811876911702)-π/2
    2×1.03600202652809-π/2
    2.07200405305619-1.57079632675     		φ = 0.50120773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43320576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.820862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50120773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.717088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74573 KachelY 54613 0.43320576 0.50120773 24.820862 28.717088
    Oben rechts KachelX + 1 74574 KachelY 54613 0.43325370 0.50120773 24.823608 28.717088
    Unten links KachelX 74573 KachelY + 1 54614 0.43320576 0.50116569 24.820862 28.714679
    Unten rechts KachelX + 1 74574 KachelY + 1 54614 0.43325370 0.50116569 24.823608 28.714679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50120773-0.50116569) × R
    4.20399999999654e-05 × 6371000     		dl = 267.83683999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50120773-0.50116569) × R
    4.20399999999654e-05 × 6371000     		dr = 267.83683999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43320576-0.43325370) × cos(0.50120773) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877002905399353 × 6371000     		do = 267.859261363882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43320576-0.43325370) × cos(0.50116569) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877023104216761 × 6371000     		du = 267.865430602636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50120773)-sin(0.50116569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877002905399353-0.877023104216761)×R²
    abs(0.43325370-0.43320576)×2.01988174086676e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01988174086676e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01988174086676e-05×40589641000000     		ar = 71743.4043135871m²