Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74573 / 53509
↖ ↑ ↗
← N 31.341909°
E 24.820862°		 ← 260.86 m → N 31.341909°
E 24.823608°		 →
↑
260.83 m
↓
↑
260.83 m
↓
N 31.339563°
E 24.820862°		 ← 260.86 m →
68 040 m²		 N 31.339563°
E 24.823608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568950653076172 y=0.408245086669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568950653076172 × 217)
    floor (0.568950653076172 × 131072)
    floor (74573.5)     		tx = 74573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408245086669922 × 217)
    floor (0.408245086669922 × 131072)
    floor (53509.5)     		ty = 53509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74573 / 53509 ti = "17/74573/53509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74573/53509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74573 ÷ 217
    74573 ÷ 131072     		x = 0.568946838378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53509 ÷ 217
    53509 ÷ 131072     		y = 0.408241271972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568946838378906 × 2 - 1) × π
    0.137893676757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.43320576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408241271972656 × 2 - 1) × π
    0.183517456054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.576537091730415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43320576} λ = 0.43320576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.576537091730415))-π/2
    2×atan(1.77986423999648)-π/2
    2×1.05890791362267-π/2
    2.11781582724534-1.57079632675     		φ = 0.54701950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43320576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.820862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54701950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.341909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74573 KachelY 53509 0.43320576 0.54701950 24.820862 31.341909
    Oben rechts KachelX + 1 74574 KachelY 53509 0.43325370 0.54701950 24.823608 31.341909
    Unten links KachelX 74573 KachelY + 1 53510 0.43320576 0.54697856 24.820862 31.339563
    Unten rechts KachelX + 1 74574 KachelY + 1 53510 0.43325370 0.54697856 24.823608 31.339563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54701950-0.54697856) × R
    4.09399999999893e-05 × 6371000     		dl = 260.828739999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54701950-0.54697856) × R
    4.09399999999893e-05 × 6371000     		dr = 260.828739999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43320576-0.43325370) × cos(0.54701950) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.854078602391863 × 6371000     		do = 260.857589153831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43320576-0.43325370) × cos(0.54697856) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.854099896369897 × 6371000     		du = 260.86409288283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54701950)-sin(0.54697856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854078602391863-0.854099896369897)×R²
    abs(0.43325370-0.43320576)×2.1293978034187e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1293978034187e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1293978034187e-05×40589641000000     		ar = 68040.0044875046m²