Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74572 / 54596
↖ ↑ ↗
← N 28.758028°
E 24.818115°		 ← 267.75 m → N 28.758028°
E 24.820862°		 →
↑
267.71 m
↓
↑
267.71 m
↓
N 28.755621°
E 24.818115°		 ← 267.76 m →
71 681 m²		 N 28.755621°
E 24.820862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568943023681641 y=0.416538238525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568943023681641 × 217)
    floor (0.568943023681641 × 131072)
    floor (74572.5)     		tx = 74572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416538238525391 × 217)
    floor (0.416538238525391 × 131072)
    floor (54596.5)     		ty = 54596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74572 / 54596 ti = "17/74572/54596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74572/54596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74572 ÷ 217
    74572 ÷ 131072     		x = 0.568939208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54596 ÷ 217
    54596 ÷ 131072     		y = 0.416534423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568939208984375 × 2 - 1) × π
    0.13787841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43315782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416534423828125 × 2 - 1) × π
    0.16693115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.524429681843414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43315782} λ = 0.43315782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524429681843414))-π/2
    2×atan(1.68949502387433)-π/2
    2×1.03635930334818-π/2
    2.07271860669637-1.57079632675     		φ = 0.50192228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43315782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.818115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50192228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.758028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74572 KachelY 54596 0.43315782 0.50192228 24.818115 28.758028
    Oben rechts KachelX + 1 74573 KachelY 54596 0.43320576 0.50192228 24.820862 28.758028
    Unten links KachelX 74572 KachelY + 1 54597 0.43315782 0.50188026 24.818115 28.755621
    Unten rechts KachelX + 1 74573 KachelY + 1 54597 0.43320576 0.50188026 24.820862 28.755621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50192228-0.50188026) × R
    4.2020000000087e-05 × 6371000     		dl = 267.709420000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50192228-0.50188026) × R
    4.2020000000087e-05 × 6371000     		dr = 267.709420000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43315782-0.43320576) × cos(0.50192228) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.87665935092993 × 6371000     		do = 267.754330985518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43315782-0.43320576) × cos(0.50188026) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876679566465876 × 6371000     		du = 267.760505330544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50192228)-sin(0.50188026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87665935092993-0.876679566465876)×R²
    abs(0.43320576-0.43315782)×2.0215535946333e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0215535946333e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0215535946333e-05×40589641000000     		ar = 71681.1831264789m²