Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74571 / 76454
↖ ↑ ↗
← S 28.705043°
E 24.815369°		 ← 267.83 m → S 28.705043°
E 24.818115°		 →
↑
267.90 m
↓
↑
267.90 m
↓
S 28.707452°
E 24.815369°		 ← 267.83 m →
71 752 m²		 S 28.707452°
E 24.818115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568935394287109 y=0.583301544189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568935394287109 × 217)
    floor (0.568935394287109 × 131072)
    floor (74571.5)     		tx = 74571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583301544189453 × 217)
    floor (0.583301544189453 × 131072)
    floor (76454.5)     		ty = 76454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74571 / 76454 ti = "17/74571/76454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74571/76454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74571 ÷ 217
    74571 ÷ 131072     		x = 0.568931579589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76454 ÷ 217
    76454 ÷ 131072     		y = 0.583297729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568931579589844 × 2 - 1) × π
    0.137863159179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.43310989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583297729492188 × 2 - 1) × π
    -0.166595458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.523375070051773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43310989} λ = 0.43310989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523375070051773))-π/2
    2×atan(0.592517381788193)-π/2
    2×0.53489940831911-π/2
    1.06979881663822-1.57079632675     		φ = -0.50099751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43310989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.815369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50099751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.705043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74571 KachelY 76454 0.43310989 -0.50099751 24.815369 -28.705043
    Oben rechts KachelX + 1 74572 KachelY 76454 0.43315782 -0.50099751 24.818115 -28.705043
    Unten links KachelX 74571 KachelY + 1 76455 0.43310989 -0.50103956 24.815369 -28.707452
    Unten rechts KachelX + 1 74572 KachelY + 1 76455 0.43315782 -0.50103956 24.818115 -28.707452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50099751--0.50103956) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dl = 267.9005500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50099751--0.50103956) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dr = 267.9005500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43310989-0.43315782) × cos(-0.50099751) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.877103893591884 × 6371000     		do = 267.834225468286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43310989-0.43315782) × cos(-0.50103956) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.877083696172119 × 6371000     		du = 267.828057943185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50099751)-sin(-0.50103956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877103893591884-0.877083696172119)×R²
    abs(0.43315782-0.43310989)×2.01974197650001e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01974197650001e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01974197650001e-05×40589641000000     		ar = 71752.1101806904m²