Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74571 / 54616
↖ ↑ ↗
← N 28.709861°
E 24.815369°		 ← 267.82 m → N 28.709861°
E 24.818115°		 →
↑
267.84 m
↓
↑
267.84 m
↓
N 28.707452°
E 24.815369°		 ← 267.83 m →
71 733 m²		 N 28.707452°
E 24.818115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568935394287109 y=0.416690826416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568935394287109 × 217)
    floor (0.568935394287109 × 131072)
    floor (74571.5)     		tx = 74571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416690826416016 × 217)
    floor (0.416690826416016 × 131072)
    floor (54616.5)     		ty = 54616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74571 / 54616 ti = "17/74571/54616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74571/54616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74571 ÷ 217
    74571 ÷ 131072     		x = 0.568931579589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54616 ÷ 217
    54616 ÷ 131072     		y = 0.41668701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568931579589844 × 2 - 1) × π
    0.137863159179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.43310989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41668701171875 × 2 - 1) × π
    0.1666259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.523470943851013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43310989} λ = 0.43310989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523470943851013))-π/2
    2×atan(1.68787601703267)-π/2
    2×1.03593896314899-π/2
    2.07187792629797-1.57079632675     		φ = 0.50108160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43310989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.815369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50108160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.709861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74571 KachelY 54616 0.43310989 0.50108160 24.815369 28.709861
    Oben rechts KachelX + 1 74572 KachelY 54616 0.43315782 0.50108160 24.818115 28.709861
    Unten links KachelX 74571 KachelY + 1 54617 0.43310989 0.50103956 24.815369 28.707452
    Unten rechts KachelX + 1 74572 KachelY + 1 54617 0.43315782 0.50103956 24.818115 28.707452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50108160-0.50103956) × R
    4.20399999999654e-05 × 6371000     		dl = 267.83683999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50108160-0.50103956) × R
    4.20399999999654e-05 × 6371000     		dr = 267.83683999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43310989-0.43315782) × cos(0.50108160) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.877063502005237 × 6371000     		do = 267.821891411392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43310989-0.43315782) × cos(0.50103956) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.877083696172119 × 6371000     		du = 267.828057943185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50108160)-sin(0.50103956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877063502005237-0.877083696172119)×R²
    abs(0.43315782-0.43310989)×2.01941668820371e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01941668820371e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01941668820371e-05×40589641000000     		ar = 71733.394901135m²