Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74571 / 54588
↖ ↑ ↗
← N 28.777289°
E 24.815369°		 ← 267.65 m → N 28.777289°
E 24.818115°		 →
↑
267.65 m
↓
↑
267.65 m
↓
N 28.774882°
E 24.815369°		 ← 267.66 m →
71 636 m²		 N 28.774882°
E 24.818115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568935394287109 y=0.416477203369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568935394287109 × 217)
    floor (0.568935394287109 × 131072)
    floor (74571.5)     		tx = 74571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416477203369141 × 217)
    floor (0.416477203369141 × 131072)
    floor (54588.5)     		ty = 54588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74571 / 54588 ti = "17/74571/54588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74571/54588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74571 ÷ 217
    74571 ÷ 131072     		x = 0.568931579589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54588 ÷ 217
    54588 ÷ 131072     		y = 0.416473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568931579589844 × 2 - 1) × π
    0.137863159179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.43310989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416473388671875 × 2 - 1) × π
    0.16705322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.524813177040375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43310989} λ = 0.43310989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524813177040375))-π/2
    2×atan(1.69014306135296)-π/2
    2×1.03652738516389-π/2
    2.07305477032779-1.57079632675     		φ = 0.50225844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43310989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.815369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50225844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.777289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74571 KachelY 54588 0.43310989 0.50225844 24.815369 28.777289
    Oben rechts KachelX + 1 74572 KachelY 54588 0.43315782 0.50225844 24.818115 28.777289
    Unten links KachelX 74571 KachelY + 1 54589 0.43310989 0.50221643 24.815369 28.774882
    Unten rechts KachelX + 1 74572 KachelY + 1 54589 0.43315782 0.50221643 24.818115 28.774882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50225844-0.50221643) × R
    4.20099999999257e-05 × 6371000     		dl = 267.645709999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50225844-0.50221643) × R
    4.20099999999257e-05 × 6371000     		dr = 267.645709999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43310989-0.43315782) × cos(0.50225844) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.876497570920949 × 6371000     		do = 267.649077546654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43310989-0.43315782) × cos(0.50221643) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.876517794025403 × 6371000     		du = 267.655252914883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50225844)-sin(0.50221643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876497570920949-0.876517794025403)×R²
    abs(0.43315782-0.43310989)×2.02231044540424e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.02231044540424e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.02231044540424e-05×40589641000000     		ar = 71635.9538066967m²