Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74570 / 54617
↖ ↑ ↗
← N 28.707452°
E 24.812622°		 ← 267.88 m → N 28.707452°
E 24.815369°		 →
↑
267.90 m
↓
↑
267.90 m
↓
N 28.705043°
E 24.812622°		 ← 267.89 m →
71 767 m²		 N 28.705043°
E 24.815369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568927764892578 y=0.416698455810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568927764892578 × 217)
    floor (0.568927764892578 × 131072)
    floor (74570.5)     		tx = 74570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416698455810547 × 217)
    floor (0.416698455810547 × 131072)
    floor (54617.5)     		ty = 54617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74570 / 54617 ti = "17/74570/54617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74570/54617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74570 ÷ 217
    74570 ÷ 131072     		x = 0.568923950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54617 ÷ 217
    54617 ÷ 131072     		y = 0.416694641113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568923950195312 × 2 - 1) × π
    0.137847900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43306195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416694641113281 × 2 - 1) × π
    0.166610717773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.523423006951393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43306195} λ = 0.43306195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523423006951393))-π/2
    2×atan(1.68779510742876)-π/2
    2×1.03591794105442-π/2
    2.07183588210883-1.57079632675     		φ = 0.50103956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43306195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.812622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50103956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.707452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74570 KachelY 54617 0.43306195 0.50103956 24.812622 28.707452
    Oben rechts KachelX + 1 74571 KachelY 54617 0.43310989 0.50103956 24.815369 28.707452
    Unten links KachelX 74570 KachelY + 1 54618 0.43306195 0.50099751 24.812622 28.705043
    Unten rechts KachelX + 1 74571 KachelY + 1 54618 0.43310989 0.50099751 24.815369 28.705043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50103956-0.50099751) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dl = 267.9005500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50103956-0.50099751) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dr = 267.9005500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43306195-0.43310989) × cos(0.50103956) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877083696172119 × 6371000     		do = 267.883936945439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43306195-0.43310989) × cos(0.50099751) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877103893591884 × 6371000     		du = 267.890105757317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50103956)-sin(0.50099751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877083696172119-0.877103893591884)×R²
    abs(0.43310989-0.43306195)×2.01974197650001e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01974197650001e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01974197650001e-05×40589641000000     		ar = 71767.080368494m²