Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7457 / 7324
↖ ↑ ↗
← S 80.386396°
E147.700195°		 ← 816.06 m → S 80.386396°
E147.744140°		 →
↑
815.74 m
↓
↑
815.74 m
↓
S 80.393732°
E147.700195°		 ← 815.44 m →
665 442 m²		 S 80.393732°
E147.744140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91033935546875 y=0.89410400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91033935546875 × 213)
    floor (0.91033935546875 × 8192)
    floor (7457.5)     		tx = 7457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89410400390625 × 213)
    floor (0.89410400390625 × 8192)
    floor (7324.5)     		ty = 7324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7457 / 7324 ti = "13/7457/7324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7457/7324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7457 ÷ 213
    7457 ÷ 8192     		x = 0.9102783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7324 ÷ 213
    7324 ÷ 8192     		y = 0.89404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9102783203125 × 2 - 1) × π
    0.820556640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57785471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89404296875 × 2 - 1) × π
    -0.7880859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47584499157666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57785471} λ = 2.57785471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47584499157666))-π/2
    2×atan(0.0840919032776556)-π/2
    2×0.0838945228831584-π/2
    0.167789045766317-1.57079632675     		φ = -1.40300728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57785471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.700195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40300728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.386396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7457 KachelY 7324 2.57785471 -1.40300728 147.700195 -80.386396
    Oben rechts KachelX + 1 7458 KachelY 7324 2.57862170 -1.40300728 147.744140 -80.386396
    Unten links KachelX 7457 KachelY + 1 7325 2.57785471 -1.40313532 147.700195 -80.393732
    Unten rechts KachelX + 1 7458 KachelY + 1 7325 2.57862170 -1.40313532 147.744140 -80.393732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40300728--1.40313532) × R
    0.000128040000000107 × 6371000     		dl = 815.742840000681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40300728--1.40313532) × R
    0.000128040000000107 × 6371000     		dr = 815.742840000681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57785471-2.57862170) × cos(-1.40300728) × R
    0.000766989999999801 × 0.167002855534975 × 6371000     		do = 816.058332982281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57785471-2.57862170) × cos(-1.40313532) × R
    0.000766989999999801 × 0.166876612307392 × 6371000     		du = 815.441446297792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40300728)-sin(-1.40313532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167002855534975-0.166876612307392)×R²
    abs(2.57862170-2.57785471)×0.000126243227582395×R²
    0.000766989999999801×0.000126243227582395×6371000²
    0.000766989999999801×0.000126243227582395×40589641000000     		ar = 665442.132613817m²